[论文解读] Multivariate piecewise linear interpolation of a random field

Konrad Abramowicz, Oleg Seleznjev|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2011

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 24被引用 5

一句话总结

本文提出了一种在 d 维单位立方体上对连续随机场进行多变量分段线性插值的方法，利用网格上的 N 个观测值来近似该场。在局部平稳性假设下推导了积分均方误差的精确渐近表达式，并为 Hölder 连续场提供了上界，确定了在各维度上最小化近似误差的最优节点分布。

ABSTRACT

We consider a multivariate piecewise linear interpolation of a continuous random field on a d-dimensional cube. The approximation performance is measured by the integrated mean square error. Multivariate piecewise linear interpolator is defined by N field observations on a locations grid (or design). We investigate the class of locally stationary random fields whose local behavior is like a fractional Brownian field in mean square sense and find the asymptotic approximation accuracy for a sequence of designs for large N. Moreover, for certain classes of continuous and continuously differentiable fields we provide the upper bound for the approximation accuracy in the uniform mean square norm.

研究动机与目标

• 使用有限观测值对随机场进行可控近似精度建模。
• 将局部平稳性概念扩展至多变量随机场，以进行误差分析。
• 在局部平稳性假设下，推导分段线性插值器的渐近近似精度。
• 确定最小化各维度误差的最优采样网格分布。
• 为满足可微性的随机场在一致均方范数下的近似误差提供上界。

提出的方法

• 基于 [0,1]^d 中网格上的 N 个场观测值，使用多变量分段线性插值器。
• 通过积分均方误差（IMSE）和一致均方范数定义近似误差。
• 采用域的 l-分解方法，分析各维度上的局部行为。
• 在均方意义下使用分数布朗场行为来建模局部平稳性。
• 利用随机向量 η 和 ξ 的期望与范数不等式，推导出精确的渐近误差表达式。
• 使用多变量泰勒展开和均匀分布随机变量，对可微场的误差进行上界估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有局部平稳行为（如分数布朗场）的多变量分段线性插值，其积分均方误差的渐近行为如何？
• RQ2 应如何在各维度上最优分布采样节点，以最小化近似误差？
• RQ3 对于连续可微且满足 Hölder 条件的随机场，其一致均方误差可建立怎样的上界？
• RQ4 误差如何依赖于维度和随机场的光滑性？
• RQ5 域的 l-分解在推导最优误差上界中起到何种作用？

主要发现

• 对于具有类似分数布朗场局部行为的局部平稳随机场，本文在 N → ∞ 时推导出积分均方误差的精确渐近表达式。
• 最优的维度间节点分布由 l-分解中的 α_j 指数和 l_j 维度共同决定，以最小化误差表达式。
• 对于均方可持续且连续可微的随机场，若满足 Hölder 条件，则一致均方误差满足 ||X - X_N||_∞ ≤ √C ∑_{j=1}^k c_j / n_j^{α_j/2}，其中 c_j² = 2^{-α_j} l_j^{1+α_j/2} D_j^{α_j}。
• 误差上界依赖于光滑性参数 α_j 和最小密度 h_j(s)，其中 D_j = 1 / min_s h_j(s)。
• 该方法系统地实现了在各维度上分配采样点，以实现最优收敛速率。
• 本研究将一维分段线性近似推广至多变量情形，并在光滑性与局部平稳性假设下提供了显式的误差控制。