[论文解读] Multivariate Regular Variation of Discrete Mass Functions with Applications to Preferential Attachment Networks

Tiandong Wang, Sidney I. Resnick|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2016

Complex Network Analysis Techniques参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文通过将离散多变量概率质量函数嵌入连续密度函数，建立了在何种条件下此类函数（如偏好连接网络中的函数）是正则变的。研究证明，在此类网络中，联合入度与出度分布是非标准正则变的，从而将多变量正则变理论扩展至离散设置，并应用于复杂网络中的幂律行为。

ABSTRACT

Regular variation of a multivariate measure with a Lebesgue density implies the regular variation of its density provided the density satisfies some regularity conditions. Unlike the univariate case, the converse also requires regularity conditions. We extend these arguments to discrete mass functions and their associated measures using the concept that the the mass function can be embedded in a continuous density function. We give two different conditions, monotonicity and convergence on the unit sphere, both of which can make the discrete function embeddable. Our results are then applied to the preferential attachment network model, and we conclude that the joint mass function of in- and out-degree is embeddable and thus regularly varying.

研究动机与目标

• 将多变量正则变理论从连续密度函数扩展至多变量设置下的离散概率质量函数。
• 识别出足够条件——在单位球面上的单调性与收敛性——使得离散概率质量函数可被嵌入连续函数。
• 将该理论应用于偏好连接网络，其中入度与出度表现出幂律行为。
• 证明当连接率不同时，联合入度与出度概率质量函数在非标准缩放下是正则变的。
• 弥合网络模型中相关测度的正则变性与离散概率质量函数之间的差距。

提出的方法

• 使用将离散概率质量函数嵌入连续密度函数的概念，以传递正则变性特征。
• 应用两种嵌入条件：概率质量函数的单调性，以及归一化函数在单位球面上的收敛性。
• 采用Karamata表示法与控制收敛定理，分析涉及伽马函数的积分的渐近行为。
• 应用Stirling公式变体（引理4.1），以建立伽马函数比值在紧集上的一致收敛性。
• 通过变量替换变换积分，以分析其收敛至包含指数与幂律项的极限积分。
• 利用推论4.1将嵌入函数的正则变性与原始离散概率质量函数联系起来，确保极限函数为正且有界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，可将离散多变量概率质量函数嵌入连续函数以保持正则变性？
• RQ2 在多变量设置下，离散概率质量函数的正则变性如何与相关测度的正则变性相关联？
• RQ3 当入度与出度的连接率不同时，偏好连接网络中联合入度与出度分布是否为正则变的？
• RQ4 能否使用多变量正则变性来表征此类网络中联合度分布的渐近行为？
• RQ5 在离散、重尾网络模型中，概率质量函数的嵌入在建立正则变性方面起什么作用？

主要发现

• 在 $ c_1 \neq c_2 $ 的偏好连接模型中，联合入度与出度概率质量函数 $ p(i,j) $ 是非标准正则变的，其缩放函数为 $ b_1(t) = t^{c_1} $，$ b_2(t) = t^{c_2} $。
• 归一化概率质量函数的极限函数在远离原点的紧集上一致收敛，如公式 (4.9) 与 (4.10) 所示。
• 极限函数在集合 $ \tilde{\bf E}_0 $ 上为正且有界，满足离散情况下正则变性的条件。
• 公式 (4.8) 中积分收敛至包含 $ e^{-(x/z + y/z^a)} $ 的极限积分，证实了尾部行为的渐近形式。
• 结果表明，离散概率质量函数的正则变性意味着相关测度的正则变性，与文献 [25, 26] 的发现一致。
• 引理4.1的应用确保了伽马函数比值的一致收敛性，这对建立极限函数的正则性至关重要。