[论文解读] Multivariate regular variation of heavy-tailed Markov chains

Johan Segers|ArXiv.org|Jan 15, 2007

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 18被引用 19

一句话总结

本文通过引入一种前后向尾链框架，建立了重尾马尔可夫链的多变量正则变异性。该框架捕捉了正向与反向极值的联合渐近行为。研究证明，在过渡机制满足温和的正则变异性与缩放条件时，即使极值在正负尾部之间发生切换，该过程的有限维分布仍为多变量正则变异性。

ABSTRACT

The upper extremes of a Markov chain with regulary varying stationary marginal distribution are known to exhibit under general conditions a multiplicative random walk structure called the tail chain. More generally, if the Markov chain is allowed to switch from positive to negative extremes or vice versa, the distribution of the tail chain increment may depend on the sign of the tail chain on the previous step. But even then, the forward and backward tail chain mutually determine each other through a kind of adjoint relation. As a consequence, the finite-dimensional distributions of the Markov chain are multivariate regularly varying in a way determined by the back-and-forth tail chain. An application of the theory yields the asymptotic distribution of the past and the future of the solution to a stochastic difference equation conditionally on the present value being large in absolute value.

研究动机与目标

• 表征当现值绝对值较大时，重尾马尔可夫链有限维分布的弱极限。
• 将经典尾链表示法扩展至极端值可在上尾与下尾之间切换的情形，此类情形会破坏标准的独立同分布乘法随机游走模型。
• 在平稳马尔可夫链中，建立前向与后向尾链之间的正式伴随关系，从而实现联合渐近描述。
• 证明在一般条件下，整个过程为多变量正则变异性，其依赖结构完全由前后向尾链决定。
• 将理论应用于随机差分方程，特别是具有重尾创新项的随机递推方程的平稳解。

提出的方法

• 将前向尾链定义为：在边际分布满足正则变异性条件下，当 $x \to \infty$ 时，给定 $|X_0| > x$，对重缩放过程 $(X_0, X_1, \ldots, X_t)$ 的弱极限。
• 引入一种广义的尾部切换机制，其中增量分布依赖于前一状态的符号，从而导致非独立同分布的尾链。
• 通过双变量变换建立前向与后向尾链之间的伴随关系，使两者可相互确定。
• 利用前后向尾链刻画整个过程的联合多变量正则变异性，即使前向链并非简单随机游走。
• 推导随机递推方程 $X_t = \Psi(X_{t-1}, \varepsilon_t)$ 中递归函数 $\Psi$ 的条件，以确保前向与后向尾链的存在性。
• 将该框架应用于示例，如具有潜变量的随机差分方程与最大自回归过程，展示路径依赖与状态切换如何影响尾部行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 当极端值可在正负尾部之间切换时，如何表征重尾马尔可夫链的渐近行为？
• RQ2 递归机制 $\Psi$ 需满足何种条件，才能确保即使增量分布依赖于前一状态的符号，前向尾链仍存在且定义良好？
• RQ3 在平稳马尔可夫链中，前向与后向尾链之间存在何种关系？该关系能否形式化为伴随结构？
• RQ4 在何种条件下，该过程的有限维分布为多变量正则变异性？其由前后向尾链如何决定？
• RQ5 该理论能否应用于建模随机差分方程解的联合尾部行为，特别是具有重尾创新项与时变动态结构的情形？

主要发现

• 重尾马尔可夫链的前向尾链弱收敛于一个乘法过程，其增量依赖于前一状态的符号，从而推广了经典的独立同分布随机游走结构。
• 在平稳情形下，前向与后向尾链通过伴随关系关联，形成前后向尾链，可完全刻画该过程的多变量正则变异性。
• 马尔可夫链的有限维分布为多变量正则变异性，其依赖结构由前向与后向尾链的联合行为决定。
• 对于具有正则变异性边际分布的随机差分方程的平稳解，给定当前值较大时，过去与未来值的条件分布收敛于由前后向尾链决定的分布。
• 反例表明，当转移机制不满足渐近缩放条件 (2.2) 时，理论会失效，特别是当创新项的尾部行为依赖于状态且非渐近稳定时。
• 在存在潜马尔可夫切换的情形（如最大自回归过程），尾链增量并非独立，即使边际分布为正则变异性，前向尾链也并非简单的独立同分布乘法随机游走。