[论文解读] Multivariate second order Poincaré inequalities for Poisson functionals

Matthias Schulte, J. E. Yukich|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2018

Point processes and geometric inequalities参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文通过马利avin微积分与 Stein 方法，将单变量结果推广至向量值泛函，建立了泊松泛函的多变量二阶 Poincaré 不等式。通过推导多变量 Stein 方程解的二阶导数的新界，实现了对泊松泛函向量与正态分布之间 $d_{\text{convex}}$、$d_2$ 和 $d_3$ 距离的最优阶逼近界。

ABSTRACT

Given a vector $F=(F_1,\dots,F_m)$ of Poisson functionals $F_1,\dots,F_m$, we investigate the proximity between $F$ and an $m$-dimensional centered Gaussian random vector $N_Σ$ with covariance matrix $Σ\in\mathbb{R}^{m imes m}$. Apart from finding proximity bounds for the $d_2$- and $d_3$-distances, based on classes of smooth test functions, we obtain proximity bounds for the $d_{convex}$-distance, based on the less tractable test functions comprised of indicators of convex sets. The bounds for all three distances are shown to be of the same order, which is presumably optimal. The bounds are multivariate counterparts of the univariate second order Poincaré inequalities and, as such, are expressed in terms of integrated moments of first and second order difference operators. The derived second order Poincaré inequalities for indicators of convex sets are made possible by a new bound on the second derivatives of the solution to the Stein equation for the multivariate normal distribution. We present applications to the multivariate normal approximation of first order Poisson integrals and of statistics of Boolean models.

研究动机与目标

• 将泊松泛函的单变量二阶 Poincaré 不等式推广至多变量情形。
• 利用非光滑凸测试函数，建立 $d_{\text{convex}}$-距离的逼近界，此类问题比光滑情形更具挑战性。
• 通过统一框架，对 $d_{\text{convex}}$、$d_2$ 和 $d_3$ 三种距离均实现相同（可能最优）的收敛速率。
• 推导多变量 Stein 方程解的二阶导数的新界，该结果对处理 $d_{\text{convex}}$-距离分析至关重要，且可能具有独立兴趣。

提出的方法

• 在泊松混沌上应用马利avin-Stein 方法，结合马利avin微积分与 Stein 方法，实现多变量正态近似。
• 利用一阶与二阶差分算子 $D_xF$ 和 $D^2_{x_1,x_2}F$，以积分矩形式表达逼近界。
• 提出多变量 Stein 方程解的二阶导数的新界，该界对处理凸集指示函数至关重要。
• 应用平滑引理并辅以精细估计，控制 $d_{\text{convex}}$-距离，该方法依赖于非光滑测试函数。
• 通过 Hölder 不等式与涉及 $D_xF$ 和 $D^2_{x_1,x_2}F$ 的矩估计，推导出 $d_{\text{convex}}$、$d_2$ 和 $d_3$ 距离的显式界。
• 通过证明其与经典多变量中心极限定理中的速率一致，验证了速率的最优性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将泊松泛函的二阶 Poincaré 不等式从单变量情形推广至多变量情形？
• RQ2 能否对使用非光滑凸测试函数的 $d_{\text{convex}}$-距离实现最优收敛速率？
• RQ3 为处理 $d_{\text{convex}}$-距离，需要对多变量 Stein 方程解的二阶导数建立何种新界？
• RQ4 $d_{\text{convex}}$、$d_2$ 和 $d_3$ 距离的逼近界是否具有相同阶次，暗示其最优性？
• RQ5 所推导的不等式能否应用于具体模型（如泊松积分与具有保证速率的布尔模型）？

主要发现

• 本文建立了多变量二阶 Poincaré 不等式，对 $d_{\text{convex}}$、$d_2$ 和 $d_3$ 距离均给出同阶的逼近界。
• 所有三种距离的界均以一阶与二阶差分算子的积分矩形式表达，实现了相同（可能最优）的收敛速率。
• 推导出多变量 Stein 方程解的二阶导数的新界，使 $d_{\text{convex}}$-距离的分析成为可能。
• $d_{\text{convex}}$-距离的界在无限制性假设下获得，优于早期工作所依赖的 $d_{\mathbb{H}_\ell}$-距离。
• 该界被应用于一阶泊松积分与布尔模型的统计量，给出了显式收敛速率。
• 对于强度为 $\lambda = s\mu$ 的布尔模型，收敛速率为 $s^{-1/2}$，与经典多变量中心极限定理一致。