[论文解读] Mumford-Shah and Potts Regularization for Manifold-Valued Data with Applications to DTI and Q-Ball Imaging

Andreas Weinmann, Laurent Demaret+1 more|Oct 7, 2014

Bone and Joint Diseases参考文献 77被引用 9

一句话总结

该论文提出了一种新颖的算法，用于流形上数据的Mumford-Shah和Potts正则化，利用动态规划与凸优化技术，在Cartan-Hadamard流形上计算全局最小解，无需对数据空间进行离散化。该方法实现了扩散张量成像（DTI）和Q-ball成像中的边缘保持去噪与分割，实现了准确的胼胝体分割，并具有理论上的收敛性保证。

ABSTRACT

Mumford-Shah and Potts functionals are powerful variational models for regularization which are widely used in signal and image processing; typical applications are edge-preserving denoising and segmentation. Being both non-smooth and non-convex, they are computationally challenging even for scalar data. For manifold-valued data, the problem becomes even more involved since typical features of vector spaces are not available. In this paper, we propose algorithms for Mumford-Shah and for Potts regularization of manifold-valued signals and images. For the univariate problems, we derive solvers based on dynamic programming combined with (convex) optimization techniques for manifold-valued data. For the class of Cartan-Hadamard manifolds (which includes the data space in diffusion tensor imaging), we show that our algorithms compute global minimizers for any starting point. For the multivariate Mumford-Shah and Potts problems (for image regularization) we propose a splitting into suitable subproblems which we can solve exactly using the techniques developed for the corresponding univariate problems. Our method does not require any a priori restrictions on the edge set and we do not have to discretize the data space. We apply our method to diffusion tensor imaging (DTI) as well as Q-ball imaging. Using the DTI model, we obtain a segmentation of the corpus callosum.

研究动机与目标

• 解决流形上数据的Mumford-Shah和Potts正则化所面临的计算挑战，这些问题是非光滑且非凸的。
• 为Cartan-Hadamard流形上的单变量问题开发高效求解器，确保无论初始值如何均能获得全局最优解。
• 通过精确的子问题分解，将单变量求解器扩展至多变量图像正则化。
• 在无需对边缘集合或数据空间进行先验约束或离散化的情况下，实现在DTI和Q-ball成像等医学成像模态中的分割与去噪。

提出的方法

• 结合动态规划与凸优化技术，求解流形上数据的单变量Mumford-Shah和Potts问题。
• 利用Cartan-Hadamard流形的几何结构，保证单变量问题的全局最小解。
• 将多变量图像正则化问题沿坐标方向分解为一维子问题，使用单变量求解器精确求解每个子问题。
• 采用交替最小化算法（分裂算法）迭代更新变量，其在Cartan-Hadamard流形上的收敛性已得到证明。
• 使用Riemann流形均值和测地线距离处理非欧几里得空间中的数据，如对称正定矩阵和方向分布函数。
• 对Potts泛函采用梯度（或次梯度）下降步骤，其最小化解为p=2时的Riemann均值或p=1时的中位数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在非凸且非光滑的流形上信号中，高效计算Mumford-Shah和Potts泛函的全局最小解？
• RQ2 所提出的算法是否能保证在Cartan-Hadamard流形上，无论初始值如何，单变量问题的全局最优性？
• RQ3 如何在不引入近似或对数据空间进行离散化的情况下，将单变量求解器扩展至多变量图像正则化？
• RQ4 该方法是否能在DTI和Q-ball成像应用中实现高精度的分割与去噪，且对先验假设要求最小？
• RQ5 在Riemann流形上的多变量设置中，交替最小化算法的收敛性保证为何？

主要发现

• 所提出的算法可对任意初始点，计算Cartan-Hadamard流形上单变量Mumford-Shah和Potts问题的全局最小解。
• 多变量图像正则化方案收敛至一个驻点，且在Cartan-Hadamard流形上具有理论收敛性证明。
• 该方法通过保持边缘锐利的同时实现去噪，实现了DTI数据中胼胝体的分割，且无需对边缘集合进行离散化。
• 当限制于允许的划分时，该算法在一般完备Riemann流形上对Potts泛函实现了全局最优性。
• 该方法适用于真实世界的医学成像问题，如DTI和Q-ball成像，其中数据自然位于对称正定矩阵和球面等非欧几里得流形上。
• 通过能量项的统一有界性与逆三角不等式论证，建立了交替最小化算法的收敛性，确保迭代序列收敛至同一极限。