[论文解读] Musielak-Orlicz Hardy Spaces Associated with Operators and Their Applications

Dachun Yang, Sibei Yang|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2012

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 60被引用 5

一句话总结

本文引入了在具有加倍测度的度量测度空间上满足Davies-Gaffney估计的非负自伴算子相关的Musielak-Orlicz-Hardy空间 $H_{\phi,L}(X)$。建立了原子与分子表征，证明了其对偶空间为Musielak-Orlicz型BMO空间，并将这些结果应用于 $ \mathbb{R}^n\u2009$ 上的Schr’odinger算子，证明了在增长函数 $\phi$ 满足特定条件时，Riesz变换从 $H_{\phi,L}(\mathbb{R}^n)$ 有界映射到 $L_\phi(\mathbb{R}^n)$ 和 $H_\phi(\mathbb{R}^n)$。主要贡献在于为该算子设定下的广义Hardy空间建立了全面的实变量理论。

ABSTRACT

Let $\mathcal{X}$ be a metric space with doubling measure and $L$ a nonnegative self-adjoint operator in $L^2(\mathcal{X})$ satisfying the Davies-Gaffney estimates. Let $φ:\,\mathcal{X} imes[0,\infty) o[0,\infty)$ be a function such that $φ(x,\cdot)$ is an Orlicz function, $φ(\cdot,t)\in A_{\infty}(\mathcal{X})$ (the class of Muckenhoupt weights) and its uniformly critical lower type index $i(φ)\in(0,1]$. In this paper, the authors introduce a Musielak-Orlicz Hardy space $H_{φ,\,L}(\mathcal{X})$ by the Lusin area function associated with the heat semigroup generated by $L$, and a Musielak-Orlicz $\mathop\mathrm{BMO}$-type space $\mathop\mathrm{BMO}_{φ,\,L}(\mathcal{X})$ which is further proved to be the dual space of $H_{φ,\,L}(\mathcal{X})$; as a corollary, the authors obtain the $φ$-Carleson measure characterization of $\mathop\mathrm{BMO}_{φ,\,L}(\mathcal{X})$. Characterizations of $H_{φ,\,L}(\mathcal{X})$, including the atom, the molecule and the Lusin area function associated with the Poisson semigroup of $L$, are presented. Using the atomic characterization, the authors characterize $H_{φ,\,L}(\mathcal{X})$ in terms of $g^\ast_{λ,\,L}$. As further applications, the authors obtain several equivalent characterizations of the Musielak-Orlicz Hardy space $H_{φ,\,L}(\mathbb{R}^n)$ associated with the Schrödinger operator $L=-Δ+V$, where $0\le V\in L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^n)$ is a nonnegative potential, in terms of the Lusin-area function, the non-tangential maximal function, the radial maximal function, the atom and the molecule.

研究动机与目标

• 为具有加倍测度的度量测度空间上的非负自伴算子 $L$ 建立 Musielak-Orlicz-Hardy空间 $H_{\phi,L}(X)$ 的实变量理论。
• 通过与热半群和泊松半群相关的原子、分子及Lusin面积函数表征 $H_{\phi,L}(X)$。
• 证明Musielak-Orlicz型BMO空间 $\mathrm{BMO}_{\phi,L}(X)$ 是 $H_{\phi,L}(X)$ 的对偶空间，并由此导出其 $\phi$-Carleson测度表征。
• 利用原子分解建立 $L$ 在 $H_{\phi,L}(X)$ 上的Hörmander型谱乘子定理。
• 将该理论应用于 $ \mathbb{R}^n\u2009$ 上的Schr’odinger算子 $L = -\Delta + V$，其中 $V \geq 0$ 局部可积，证明Riesz变换 $\nabla L^{-1/2}$ 在这些空间上的有界性。

提出的方法

• 通过热半群 $e^{-tL}$ 关联的Lusin面积函数定义 $H_{\phi,L}(X)$，使用满足一致 $A_\infty$ 和反Hölder条件的增长函数 $\phi: X \times [0,\infty) \to [0,\infty)$。
• 引入Musielak-Orlicz型BMO空间 $\mathrm{BMO}_{\phi,L}(X)$，并通过原子分解与对偶性技术证明其为 $H_{\phi,L}(X)$ 的对偶空间。
• 通过构造与算子 $L$ 相适应的 $(\phi,M,0)$-原子与 $(\phi,M,\epsilon)$-分子，建立 $H_{\phi,L}(X)$ 的原子与分子表征。
• 利用原子分解通过Littlewood-Paley $g^*_{\lambda}$-函数 $g^*_{\lambda,L}$ 表征 $H_{\phi,L}(X)$，并推导出Hörmander型谱乘子定理。
• 将该理论应用于 $ \mathbb{R}^n\u2009$ 上的Schr’odinger算子，证明 $H_{\phi,L}(\mathbb{R}^n)$ 的各种表征（非切向极大函数、径向极大函数、原子、分子）等价。
• 证明当 $i(\phi) \in (0,1]$ 时，Riesz变换 $\nabla L^{-1/2}$ 从 $H_{\phi,L}(\mathbb{R}^n)$ 有界映射到 $L_\phi(\mathbb{R}^n)$，当 $i(\phi) \in (\frac{n}{n+1},1]$ 时映射到 $H_\phi(\mathbb{R}^n)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为具有加倍测度的度量测度空间上的非负自伴算子 $L$ 定义并表征Musielak-Orlicz-Hardy空间 $H_{\phi,L}(X)$？
• RQ2 $H_{\phi,L}(X)$ 的对偶空间是什么？如何通过 $\phi$-Carleson测度表征？
• RQ3 在何种条件下，Riesz变换 $\nabla L^{-1/2}$ 从 $H_{\phi,L}(\mathbb{R}^n)$ 有界映射到 $L_\phi(\mathbb{R}^n)$ 和 $H_\phi(\mathbb{R}^n)$？
• RQ4 Littlewood-Paley $g^*_{\lambda}$-函数与谱乘子在 $H_{\phi,L}(X)$ 上何时有界？需要满足什么条件？
• RQ5 对于 $V \geq 0$ 局部可积的Schr’odinger算子 $L = -\Delta + V$，$H_{\phi,L}(\mathbb{R}^n)$ 的等价表征是什么？

主要发现

• 证明了Musielak-Orlicz型BMO空间 $\mathrm{BMO}_{\phi,L}(X)$ 是 $H_{\phi,L}(X)$ 的对偶空间，并由此导出其 $\phi$-Carleson测度表征。
• 在给定 $\phi$ 与 $L$ 的假设下，空间 $H_{\phi,L}(X)$ 可通过与泊松半群相关的原子、分子及Lusin面积函数实现等价表征。
• Littlewood-Paley $g^*_{\lambda}$-函数 $g^*_{\lambda,L}$ 在 $H_{\phi,L}(X)$ 上有界，并为 $L$ 在该空间上建立了Hörmander型谱乘子定理。
• 对于 $ \mathbb{R}^n\u2009$ 上的Schr’odinger算子 $L = -\Delta + V$，其中 $V \geq 0$ 局部可积，空间 $H_{\phi,L}(\mathbb{R}^n)$ 可通过非切向极大函数、径向极大函数、原子与分子实现等价表征。
• 当一致临界下指标 $i(\phi) \in (0,1]$ 时，Riesz变换 $\nabla L^{-1/2}$ 从 $H_{\phi,L}(\mathbb{R}^n)$ 有界映射到 $L_\phi(\mathbb{R}^n)$；当 $i(\phi) \in (\frac{n}{n+1},1]$ 时，有界映射到 $H_\phi(\mathbb{R}^n)$。
• 证明了 $(\phi,M,0)$-原子 $\alpha$ 的 $\nabla L^{-1/2}\alpha$ 的原子分解在 $L^2(\mathbb{R}^n)$ 中收敛，并满足一致的 $\phi$-范数有界性，从而推出 $\nabla L^{-1/2}$ 在 $H_{\phi,L}(\mathbb{R}^n)$ 上的有界性。