[论文解读] Mutation via Hovey twin cotorsion pairs and model structures in extriangulated categories

Hiroyuki Nakaoka|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 20被引用 27

一句话总结

本文引入了外三角范畴作为统一框架，推广了精确范畴与三角范畴，实现了Hovey对余挠对与可接受模型结构之间的双射对应。该对应关系揭示了局部化与理想商通过三角同伦范畴的关联，为在精确与三角范畴中系统地实现余挠对的变异与约化提供了方法。

ABSTRACT

We give a simultaneous generalization of exact categories and triangulated categories, which is suitable for considering cotorsion pairs, and which we call extriangulated categories. Extension-closed, full subcategories of triangulated categories are examples of extriangulated categories. We give a bijective correspondence between some pairs of cotorsion pairs which we call Hovey twin cotorsion pairs, and admissible model structures. As a consequence, these model structures relate certain localizations with certain ideal quotients, via the homotopy category which can be given a triangulated structure. This gives a natural framework to formulate reduction and mutation of cotorsion pairs, applicable to both exact categories and triangulated categories. These results can be thought of as arguments towards the view that extriangulated categories are a convenient setup for writing down proofs which apply to both exact categories and (extension-closed subcategories of) triangulated categories. This is a joint work with Yann Palu.

研究动机与目标

• 通过引入新的范畴框架，统一处理精确范畴与三角范畴中的余挠对。
• 将外三角范畴定义为精确范畴与三角范畴的推广，以捕捉两者共有的性质。
• 在外三角范畴中，建立Hovey对余挠对与可接受模型结构之间的双射对应。
• 展示该对应关系如何通过三角同伦范畴关联局部化与理想商。
• 为精确与三角范畴提供一种系统化的余挠对变异与约化方法。

提出的方法

• 通过n-精确结构的概念，将外三角范畴引入为精确范畴与三角范畴的共同推广。
• 将Hovey对余挠对定义为满足特定相容性与完备性条件的余挠对对。
• 在外三角范畴中，建立Hovey对余挠对与可接受模型结构之间的双射对应。
• 构造可接受模型结构的同伦范畴，证明其继承三角结构。
• 利用该对应关系，将外三角范畴的局部化与理想商通过三角同伦范畴联系起来。
• 将该框架应用于三角范畴的扩张闭子范畴，证明其在经典设定中的适用性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在外三角范畴的统一范畴框架下，系统地统一精确与三角范畴中的余挠对？
• RQ2 在外三角范畴中，Hovey对余挠对与可接受模型结构之间存在双射对应的条件是什么？
• RQ3 外三角范畴的局部化如何通过同伦范畴与理想商相关联？
• RQ4 外三角范畴上可接受模型结构的同伦范畴在何种方式下继承三角结构？
• RQ5 能否利用该框架将余挠对的变异与约化推广至精确或三角范畴之外？

主要发现

• 外三角范畴提供了自然的推广，统一了精确范畴与三角范畴，使余挠对得以共享处理。
• 在外三角范畴中，Hovey对余挠对与可接受模型结构之间存在双射对应。
• 外三角范畴上可接受模型结构的同伦范畴具有三角结构。
• 该对应关系使得外三角范畴中局部化与理想商之间建立了系统性的关系。
• 该框架通过统一机制支持在精确与三角范畴中对余挠对进行变异与约化。
• 三角范畴的扩张闭子范畴自然地成为外三角范畴，验证了该框架在经典设定中的适用性。