[论文解读] Mutiscale Mapper: A Framework for Topological Summarization of Data and Maps

Tamal K. Dey, Facundo Mémoli+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2015

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 20被引用 11

一句话总结

本文提出了多尺度Mapper（Multiscale Mapper），一种通过在陪域上构建嵌套覆盖序列来构造单纯复形塔的拓扑框架，从而生成数据映射的分层、尺度连续的总结。该框架证明了构造的稳定性，并提供了高效算法，可对分段线性函数精确计算持久同调图，对一般映射近似计算，且通过拉回伪度量将输出与Čech复形联系起来。

ABSTRACT

Summarizing topological information from datasets and maps defined on them is a central theme in topological data analysis. extsf{Mapper}, a tool for such summarization, takes as input both a possibly high dimensional dataset and a map defined on the data, and produces a summary of the data by using a cover of the codomain of the map. This cover, via a pullback operation to the domain, produces a simplicial complex connecting the data points. The resulting view of the data through a cover of the codomain offers flexibility in analyzing the data. However, it offers only a view at a fixed scale at which the cover is constructed. Inspired by the concept, we explore a notion of a tower of covers which induces a tower of simplicial complexes connected by simplicial maps, which we call {\em multiscale mapper}. We study the resulting structure, its stability, and design practical algorithms to compute its associated persistence diagrams efficiently. Specifically, when the domain is a simplicial complex and the map is a real-valued piecewise-linear function, the algorithm can compute the exact persistence diagram only from the 1-skeleton of the input complex. For general maps, we present a combinatorial version of the algorithm that acts only on \emph{vertex sets} connected by the 1-skeleton graph, and this algorithm approximates the exact persistence diagram thanks to a stability result that we show to hold. We also relate the multiscale mapper with the Čech complexes arising from a natural pullback pseudometric defined on the input domain.

研究动机与目标

• 为解决标准Mapper仅提供单尺度拓扑总结的局限性，提出一种多尺度扩展。
• 形式化一个随尺度演化的覆盖塔及其关联的单纯复形，以支持持久拓扑分析。
• 在覆盖和映射的扰动下，建立多尺度Mapper构造的理论稳定性。
• 设计高效算法，计算多尺度Mapper的持久同调图，对PL函数实现精确计算，对一般映射实现近似计算。
• 通过拉回伪度量将多尺度Mapper与Čech复形联系起来，实现理论与计算上的关联。

提出的方法

• 构建陪域空间Z的尺度ε索引的覆盖塔，形成嵌套覆盖序列{U_ε}。
• 通过映射f:X→Z拉回这些覆盖，生成一系列单纯复形M(ε)，构成多尺度Mapper。
• 定义由单纯映射连接的单纯复形塔，跨尺度计算持久同调图。
• 对于定义在单纯复形上的实值PL函数，仅利用输入复形的1-骨架即可精确计算持久同调图。
• 对于一般映射，引入一种基于顶点集和1-骨架的组合算法，通过稳定性结果近似精确图。
• 在定义域X上定义拉回伪度量d_{U,f}，将多尺度Mapper与Čech过滤联系起来，支持稳定性与交错论证。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将单尺度Mapper构造推广，以生成连续的、尺度连续的拓扑总结？
• RQ2 此类多尺度框架可建立哪些理论保证，特别是稳定性？
• RQ3 能否设计高效算法计算多尺度Mapper的持久同调图，尤其是针对PL和一般映射？
• RQ4 多尺度Mapper与经典构造（如Reeb图或Čech复形）有何关系？
• RQ5 当覆盖尺度ε→0时，多尺度Mapper收敛到何种极限拓扑对象？

主要发现

• 多尺度Mapper框架通过由单纯映射连接的单纯复形塔，生成了稳定且尺度连续的数据映射拓扑总结。
• 对于定义在单纯复形上的分段线性实值函数，仅利用输入复形的1-骨架即可精确计算持久同调图。
• 对于一般映射，组合算法可近似精确持久同调图，且近似误差受稳定性结果约束。
• 多尺度Mapper与基于拉回伪度量d_{U,f}构造的Čech复形交错，建立了与经典持久同调的理论联系。
• 该框架在覆盖和映射f的扰动下保持稳定，且对覆盖与函数扰动均证明了基于交错的稳定性。
• 当覆盖尺度ε→0时，该构造收敛于Reeb空间，表明其为Mapper的连续推广。