[论文解读] Muttalib--Borodin ensembles in random matrix theory --- realisations and correlation functions

Peter J. Forrester, Dong Wang|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2015

Random Matrices and Applications参考文献 39被引用 23

一句话总结

本文对随机矩阵理论中的Muttalib–Borodin系综进行了全面分析，重点关注具有通用正参数θ的拉盖尔和雅可比版本。通过高斯矩阵和三角随机矩阵建立了新的矩阵实现形式，推导出关联函数的精确双重围线积分公式，并证明了两种系综在Wright的贝塞尔函数下均表现出相同的硬边缘标度关联核，统一了其普适的有限尺寸行为。

ABSTRACT

Muttalib--Borodin ensembles are characterised by the pair interaction term in the eigenvalue probability density function being of the form $\prod_{1 \le j < k \le N}(λ_k - λ_j) (λ_k^θ- λ_j^θ)$. We study the Laguerre and Jacobi versions of this model --- so named by the form of the one-body interaction terms --- and show that for $θ\in \mathbb Z^+$ they can be realised as the eigenvalue PDF of certain random matrices with Gaussian entries. For general $θ> 0$, realisations in terms of the eigenvalue PDF of ensembles involving triangular matrices are given. In the Laguerre case this is a recent result due to Cheliotis, although our derivation is different. We make use of a generalisation of a double contour integral formula for the correlation functions contained in a paper by Adler, van Moerbeke and Wang to analyse the global density (which we also analyse by studying characteristic polynomials), and the hard edge scaled correlation functions. For the global density functional equations for the corresponding resolvents are obtained; solving this gives the moments in terms of Fuss--Catalan numbers (Laguerre case --- a known result) and particular binomial coefficients (Jacobi case). For $θ\in \mathbb Z^+$ the Laguerre and Jacobi cases are closely related to the squared singular values for products of $θ$ standard Gaussian random matrices, and truncations of unitary matrices, respectively. At the hard edge the double contour integral formulas provide a double contour integral form of the scaled correlation kernel obtained by Borodin in terms of Wright's Bessel function.

研究动机与目标

• 为一般θ > 0的Muttalib–Borodin系综建立新的矩阵实现形式，扩展已知的整数θ结果。
• 为拉盖尔和雅可比Muttalib–Borodin系综的关联函数推导精确的双重围线积分表示形式。
• 通过函数方程和Lagrange反演方法分析全局密度与预解式，得到以Fuss–Catalan数和二项式系数表示的矩。
• 证明拉盖尔与雅可比系综的硬边缘标度关联核完全相同，且可通过Wright的贝塞尔函数表达。
• 通过推广Adler–van Moerbeke–Wang的双重围线公式，统一这些系综的有限尺寸与渐近行为。

提出的方法

• 通过将Adler、van Moerbeke和Wang的结果推广至非整数θ，推导出关联函数的广义双重围线积分公式。
• 对单点函数使用鞍点近似方法分析全局密度，补充基于预解式的分析方法。
• 应用Lagrange反演公式求解预解式的非线性函数方程，得到矩的显式表达式。
• 通过上三角随机矩阵建立一般θ > 0的矩阵实现形式，推广了Cheliotis的近期结果。
• 对双重积分核执行围线变形与渐近分析，推导出硬边缘标度极限。
• 通过谱变量的三角参数化方法，获得雅可比情形下全局密度的显式函数形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将具有通用θ > 0的Muttalib–Borodin系综实现为随机矩阵系综的特征值概率密度？
• RQ2 拉盖尔与雅可比Muttalib–Borodin系综的关联核在双重围线积分形式下的精确表达式是什么？
• RQ3 拉盖尔与雅可比Muttalib–Borodin系综是否具有相同的硬边缘标度关联核？
• RQ4 全局密度的矩与Fuss–Catalan数、二项式系数等组合数之间有何关系？
• RQ5 雅可比情形下的全局密度具有何种函数形式，其与谱参数的关系如何？

主要发现

• 当θ与c为整数时，拉盖尔Muttalib–Borodin系综可实现为θ个复Wishart矩阵乘积的特征值概率密度函数。
• 拉盖尔情形下的全局密度矩由Fuss–Catalan数给出，通过新方法重新确认了已知结果。
• 在雅可比情形下，通过Lagrange反演公式，全局密度矩可表示为特定的二项式系数。
• 拉盖尔与雅可比系综的硬边缘标度关联核在形式上完全相同，且与Borodin利用Wright贝塞尔函数推导出的核一致。
• 关联核的双重围线积分公式可推广至实数θ > 0，从而实现对两种系综硬边缘极限的推导。
• 通过谱变量的三角参数化，雅可比情形下的全局密度可获得显式函数形式。