[论文解读] Mutual k-Visibility in Graphs

Tonny K B, M. Shikhi|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2026

Computational Geometry and Mesh Generation被引用 0

一句话总结

我们引入互 k-可见性作为对经典互可见性的基于容忍度的一般化，定义互 k-可见数 μk(G)，推导基本性质与界限，研究若干图类，给出多项式时间算法 MkV 来测试互 k-可见性，并将理论扩展到带 k-可容集的块图与互 k-可见性覆盖。

ABSTRACT

Mutual visibility in graphs requires pairs of vertices to be connected by shortest paths that avoid all other vertices of a prescribed set, a condition that is often overly restrictive. In this paper, we introduce a new variant, called mutual $k$-visibility, which permits at most $k$ internal vertices of the set to lie on a shortest path. This parameterized approach naturally generalizes classical mutual visibility and provides a graded notion of obstruction tolerance. We define the mutual $k$-visibility number $μ_k(G)$ of a graph $G$ and establish its basic properties, including monotonicity and stabilization for sufficiently large values of $k$. Some bounds on $μ_k(G)$ are obtained in terms of diameter, maximum degree, and girth. We further analyze $(X,k)$-visibility in convex graphs and determine exact values of $μ_k(G)$ for some fundamental graph classes. In addition, for block graphs, we introduce the notion of $k$-admissible sets in the associated block--cutpoint tree and show how these sets characterize mutual $k$-visibility in the original graph. Moreover, we present a polynomial-time algorithm, MkV, that decides whether a given subset $S \subseteq V(G)$ forms a mutual $k$-visibility set in $G$. The algorithm has time complexity $O\bigl(|S|(|V(G)|+|E(G)|)+|S|^2\bigr)$. In addition, we introduce strengthened variants-total, outer, and dual mutual $k$-visibility. We also define the mutual $k$-visibility covering number $τ_k(G)$, the minimum number of mutual $k$-visible sets required to partition $V(G)$, thereby extending the theory from extremal subsets to structural decompositions.

研究动机与目标

• 在图中引入基于容忍度的互可见性一般化，使最短路径上最多允许有 k 个阻挡的内部顶点。
• 定义互 k-可见数 μk(G)，并确立在 k 变大时的单调性与稳定性。
• 利用直径、最大度和周回长导出 μk(G) 的界限；分析特定图类。
• 通过块–割点树来刻画块图中的互 k-可见性，并引入 k-可容集。
• 给出一个多项式时间算法 MkV，用于判定给定子集是否为互 k-可见性集合。

提出的方法

• 定义 (X,k)-可见性 与互 k-可见性集合。
• 证明 μk(G) 在 k 上非减，并且有上界由 n、diam(G) 与 g（周寻找）决定。
• 通过块–割点树构造块图，并引入 k-可容集合来刻画 μk(G)。
• 提供一个时间复杂度为 O(|S|(|V|+|E|)+|S|^2) 的多项式时间 MkV 算法，用于测试集合 S 的互 k-可见性。
• 证明 μk(G) = max{|XZ|: Z 子集为块–割点树中 k-可容的}，适用于块图。
• 将理论扩展至全局、外部与对偶互 k-可见性等概念，并定义互 k-可见覆盖数 τk(G)。

实验结果

研究问题

• RQ1 一般图中放宽 k 阻挡的互可见性子集的最大大小是多少？
• RQ2 μk(G) 与直径、最大度、周回长等标准图参数之间有何关系？
• RQ3 是否能高效测试给定子集 S 的互 k-可见性，复杂度是多少？
• RQ4 如何通过块–割点树分析块图以刻画 μk(G) 及相关参数？
• RQ5 互 k-可见性的增强变体及其对通过覆盖进行的图分解有何影响？

主要发现

• μk(G) 在 k 增大时非减，并且当 k ≥ diam(G) − 1 时达到 |V(G)|。
• μk(G) 上界可由 n、直径 d 与周回长 g 表达，如 n−d+k+1 与 n−g+2k+3。
• 在常见图类中，μk(G) 的值可被精确确定：μk(Pn) = min{n, k+2}, μk(Cn) = min{n, 2k+3}, μk(Km,n) = m+n 对于 k ≥ 1。
• 块图通过块–割点树中的 k-可容集合可以完全刻画 μk(G)，得到 μk(G) = max{|XZ|: Z 为 k-可容}。
• 一个多项式时间 MkV 算法可以判定给定集合 S 是否为互 k-可见性集合，时间复杂度为 O(|S|(|V|+|E|)+|S|^2)。
• 论文引入了总互、外部互与对偶互 k-可见性等增强变体，并定义互 k-可见覆盖数 τk(G)。