[论文解读] Mutually complementary and compatible binary measurements on N qubits

W. E. Lawrence, Časlav Brukner+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2001

Quantum Information and Cryptography被引用 3

一句话总结

该论文提出了一种框架，将 N 量子比特上的所有 4^N − 1 个泡利算符乘积划分为 2^N + 1 组相互对易的二元可观测量，每组定义一个唯一的相互 unbiased 基（MUB）。该构造确保在某一基中制备的态在其余所有基中均产生完全随机的结果，从而建立起一组完整的 2^N + 1 个相互 unbiased 基，其中 2 和 3 量子比特的显式例子突出了纠缠特性。

ABSTRACT

We define mutually complementary observable sets for N qubits via the operational requirement that a state with a definite outcome for one set of (commuting) binary observables must give completely random results in all other sets. The bases formed by the eigenvectors of such complementary sets are mutually unbiased. We prove that the full set of 4^N-1 Pauli operator products may be partitioned into 2^N+1 distinct sets, each set consisting of 2^N-1 internally commuting observables. Furthermore we prove that each such partitioning defines a unique choice of 2^N+1 mutually unbiased bases. Examples for 2 and 3 qubit systems are discussed with emphasis on the nature and amount of entanglement that occurs within these basis sets.

研究动机与目标

• 通过操作性标准定义 N 量子比特上的相互互补的二元测量：在某一可观测量集合中具有确定结果的态，必须在所有其他集合中产生完全随机的结果。
• 证明所有 4^N − 1 个泡利算符乘积可被划分为 2^N + 1 个不同的集合，每个集合包含 2^N − 1 个相互对易的可观测量。
• 建立此类划分与 N 量子比特希尔伯特空间中完整相互 unbiased 基（MUB）集之间的一一对应关系。
• 分析这些 MUB 中的纠缠结构，特别是 2- 和 3- 量子比特系统中的情况，以理解纠缠在互补测量中的作用。

提出的方法

• 通过操作性要求定义相互互补的可观测量集合：在某一集合中具有确定结果的态，必须在所有其他集合中产生完全随机的结果。
• 将 4^N − 1 个泡利算符乘积划分为 2^N + 1 个互不相交的集合，每个集合由 2^N − 1 个相互对易的二元可观测量组成。
• 利用每个对易集合的本征矢构造一个基，并证明这些基是相互 unbiased 的。
• 利用泡利群的代数结构证明，每一类此类划分唯一地定义了一组完整的 2^N + 1 个相互 unbiased 基。
• 通过分析每个基中矢量的 Schmidt 秩和纠缠熵，研究基态中的纠缠含量。
• 为 2 和 3 量子比特提供显式构造与示例，展示 MUB 中纠缠态的出现。

实验结果

研究问题

• RQ1 N 量子比特上全部 4^N − 1 个泡利算符乘积能否被划分为 2^N + 1 组相互对易的二元可观测量？
• RQ2 每一类此类划分是否唯一地生成一组完整的 2^N + 1 个相互 unbiased 基？
• RQ3 在 N = 2 和 N = 3 时，这些相互 unbiased 基的基态中纠缠的性质与程度如何？
• RQ4 操作性要求的最大互补性——即在某一集合中具有确定结果意味着在所有其他集合中完全随机——如何刻画这些基的结构？
• RQ5 泡利群乘积的代数结构与相互 unbiased 基的构造之间存在何种关系？

主要发现

• N 量子比特上全部 4^N − 1 个泡利算符乘积可被精确划分为 2^N + 1 组，每组包含 2^N − 1 个相互对易的二元可观测量。
• 每一类此类划分唯一地定义了 N 量子比特希尔伯特空间中一组完整的 2^N + 1 个相互 unbiased 基。
• 该构造确保在某一基中制备的态在所有其他基中均产生完全随机的结果，满足互补性的操作性标准。
• 对于 2 和 3 量子比特，基态包含纠缠态，且不同基中的纠缠程度各异。
• 通过该方法构造的相互 unbiased 基的数量与这些维度下的理论最大值一致。
• 该方法提供了一种系统且基于代数结构的方法，利用泡利群对称性生成 N 量子比特系统中所有相互 unbiased 基。