[论文解读] n-ary associative algebras, cohomology, free algebras and coalgebras

Nicolas Goze, Elisabeth Remm|ArXiv.org|Mar 4, 2008

Advanced Topics in Algebra参考文献 6被引用 10

一句话总结

本文提出了两种新的方法来研究特征为零的域上 $n$-元部分结合代数的 Hochschild 上同调——通过上链空间约化和分次结构。它计算了自由 $n$-元代数的一组基，并将余代数理论推广至 $n$-元情形，解决了当 $n$ 为偶数时先前上同调定义中的不一致性。

ABSTRACT

When $n$ is odd, a cohomology of type Hochschild for $n$-ary partially associative algebras has been defined in Gnedbaye's thesis. Unfortunately, the cohomology definition is not valid when $n$ is even. This fact is found again in the computations of the $n$-ary partially associative free algebra. In this work, we define in a first time two approachs of an Hochschild cohomology for $n$-ary partially associative algebras. First by reducing the space of cochains, secondly by using a graded version. Next we compute the free $n$-ary algebra, giving a basis of this algebra. At last we extend the notion of coalgebras to $n$-ary algebras.

研究动机与目标

• 解决当 $n$ 为偶数时，现有 $n$-元部分结合代数的 Hochschild 上同调定义中的不一致性。
• 通过两种不同的方法（上链空间约化与分次结构）定义一致的 $n$-元代数上同调框架。
• 计算自由 $n$-元代数的一组基，为后续代数构造提供结构性基础。
• 将余代数概念推广至 $n$-元代数，推广经典结合代数理论中的对偶性。
• 通过 Gerstenhaber 乘积与前李恒等式阐明 $n$-元代数的代数结构，特别区分奇数 $n$ 与偶数 $n$ 的行为差异。

提出的方法

• 定义两种上同调方法：一种通过限制上链空间，另一种使用 Gerstenhaber 乘积的分次版本。
• 利用 Gerstenhaber 乘积 $\bullet_{n,n}$ 通过条件 $\mu \bullet_{n,n} \mu = 0$ 定义 $n$-元代数，推广结合代数。
• 应用前李恒等式分析 $ (\varphi \bullet \mu) \bullet \mu $ 的行为，表明当 $n$ 为偶数时，由于特征为零和符号抵消，该式恒为零。
• 当 $n$ 为奇数时，推导出恒等式 $ (\varphi \bullet \mu) \bullet \mu = 2\varphi \circ \theta_k(\mu) $，其中 $ \theta_k(\mu) $ 是 $\mu$ 与恒等映射的张量积复合的和。
• 通过递归应用 $\mu$ 于张量积上，构造自由 $n$-元代数并识别其基。
• 通过满足广义共结合性条件的共乘法 $\Delta$ 定义 $n$-元余代数，推广共结合余代数的概念。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $n$ 为偶数时，如何在先前定义失效的情况下，为 $n$-元部分结合代数定义一致的 Hochschild 上同调理论？
• RQ2 在前李恒等式背景下，$n$-元代数的上同调行为在 $n$ 为奇数与偶数时有何结构性差异？
• RQ3 由向量空间 $V$ 在 $n$-元乘法 $\mu$ 下生成的自由 $n$-元代数的显式基是什么？
• RQ4 如何将代数与余代数之间的对偶性从结合代数推广至 $n$-元结合代数？
• RQ5 恒等式 $\mu \bullet_{n,n} \mu = 0$ 对 $n$-元李代数与交换 $n$-元代数的构造有何影响？

主要发现

• 当 $n$ 为偶数时，由于符号抵消与特征为零的假设，对所有 $\varphi \in C^k(V)$，恒等式 $ (\varphi \bullet \mu) \bullet \mu = 0 $ 成立。
• 当 $n$ 为奇数时，恒等式 $ (\varphi \bullet \mu) \bullet \mu = 2\varphi \circ \theta_k(\mu) $ 成立，其中 $ \theta_k(\mu) $ 是 $\mu$ 与恒等映射的张量积复合的和。
• 在向量空间 $V$ 上的自由 $n$-元代数具有一个基，该基由 $\mu$ 在 $V$ 的张量积上的迭代应用构造而成，具有明确的组合结构。
• 通过上链空间约化与分次结构定义的上同调成功解决了当 $n$ 为偶数时 Gnedbaye 原始上同调中的不一致性。
• 通过定义满足涉及 $\mu$ 与 $\Delta$ 的广义共结合性条件的共乘法 $\Delta$，将 $n$-元余代数的概念得以推广。
• 示例包括由 4 步幂零李代数导出的 $3$-元交换代数，以及满足 $\mu \bullet_{3,3} \mu = 0$ 的 Roby 代数（阶为 3）。