[论文解读] N-dimension Central Affine Curve Flows

Chuu-Lian Terng, Zhiwei Wu|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2014

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文在配备中心仿射弧长参数的 ℝⁿ\{0} 中曲线空间上引入了 N 维中心仿射曲线流的层级结构，建立了 Drinfeld-Sokolov A₁^(n−1)-KdV 层次的几何实现。关键贡献在于：第 j 个中心仿射曲线流（模 SL(n,ℝ) 和平移）的解与第 j 个 A₁^(n−1)-KdV 流的解之间存在一一对应关系，通过中心仿射曲率映射显式构造了可积性、辛结构及 Bäcklund 变换。

ABSTRACT

We construct a sequence of commuting central affine curve flows on $R^n\backslash 0$ invariant under the action of $SL(n,R)$ and prove the following results: (a) The central affine curvatures of a solution of the j-th central affine curve flow is a solution of the j-th flow of Gelfand-Dickey (GD$_n$) hierarchy on the space of n-th order differential operators. (b) We use the solution of the Cauchy problems of the GD$_n$ flow to solve the Cauchy problems for the central affine curve flows with periodic initial data and also with initial data whose central affine curvatures are rapidly decaying. (c) We obtain a bi-Hamiltonian structure for the central affine curve flow hierarchy and prove that it arises naturally from the Poisson structures of certain co-adjoint orbits. (d) We construct Backlund transformations, infinitely many families of explicit solutions and give a permutability formula for these curve flows.

研究动机与目标

• 在 ℝⁿ\{0} 上构造一组关于高阶中心仿射曲线流的可交换流层级，将其推广为 Drinfeld-Sokolov A₁^(n−1)-KdV 层次的第二流。
• 在模 SL(n,ℝ) 和平移意义下，建立第 j 个中心仿射曲线流的解与第 j 个 A₁^(n−1)-KdV 流的解之间的一一对应关系。
• 利用 A₁^(n−1)-KdV 层次的解，求解具有周期性或快速衰减初始数据的中心仿射曲线流层级的柯西问题。
• 为该层级构造 Bäcklund 变换与可交换定理，从而能从已知解生成新解。

提出的方法

• 使用中心仿射弧长参数定义一个活动标架 g = (γ, γₓ, ..., γₓ^(n−1))，满足 gₓ = g(b + u)，其中 u 是 Vₙ ⊂ sl(n,ℝ) 中的中心仿射曲率向量。
• 中心仿射曲率映射 Ψ: ℳₙ(ℝ) → C∞(ℝ, Vₙ) 将每条曲线映射为其曲率向量 u，构成在 SL(n,ℝ) 作用下的完备微分不变量集。
• 推导出一个微分多项式 φₙ，使得向量场 ∑ᵢ₌₀ⁿ⁻¹ ξᵢ γₓ⁽ⁱ⁾ 沿 ℳₙ(ℝ) 切向当且仅当 ξ₀ = φₙ(u, ξ₁, ..., ξₙ₋₁)，从而将切空间识别为 C∞(ℝ, ℝⁿ⁻¹)。
• 中心仿射曲线流定义为 γₜ = ∑ᵢ₌₀ⁿ⁻¹ ξᵢ(u) γₓ⁽ⁱ⁾，其中 ξ₀ 由 φₙ 确定，确保在 SL(n,ℝ) 和平移下不变。
• 证明第二流为 γₜ = −(2/n)uₙ₋₁γ + γₓₓ，其恰好对应于 A₁^(n−1)-KdV 层次的第二流。
• 通过仿射李代数的余伴轨道的拉回，分别在轨道空间 ℳₙ(S¹)/SL(n,ℝ) 和 ℳₙ(S¹)/(SL(n,ℝ)×ℝⁿ⁻¹) 上构造了 2-形式 ŵ₂ 和 ŵ₃。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在 ℝⁿ\{0} 上构造一组关于高阶中心仿射曲线流的层级，使其在 SL(n,ℝ) 和平移下不变？
• RQ2 第 j 个中心仿射曲线流的解与第 j 个 A₁^(n−1)-KdV 流的解之间，其精确的几何对应关系是什么？
• RQ3 能否利用已知的 A₁^(n−1)-KdV 层次解，求解具有周期性或快速衰减初始数据的中心仿射曲线流层级的柯西问题？
• RQ4 Bäcklund 变换与可交换定理在此几何设定中如何实现？
• RQ5 轨道空间 ℳₙ(S¹)/SL(n,ℝ) 和 ℳₙ(S¹)/(SL(n,ℝ)×ℝⁿ⁻¹) 上出现何种辛结构？它们与余伴作用有何关系？

主要发现

• 第二中心仿射曲线流 γₜ = −(2/n)uₙ₋₁γ + γₓₓ 恰好对应于 Drinfeld-Sokolov A₁^(n−1)-KdV 层次的第二流，为该可积系统提供了几何实现。
• 中心仿射曲率映射 Ψ 诱导了第 j 个中心仿射曲线流的解（模 SL(n,ℝ) 和平移）与第 j 个 A₁^(n−1)-KdV 流的解之间的一一对应关系。
• 利用 A₁^(n−1)-KdV 层次的解，求解了具有周期性初始数据及曲率快速衰减的初始数据的中心仿射曲线流层级的柯西问题。
• 2-形式 ŵ₂ 在轨道空间 ℳₙ(S¹)/SL(n,ℝ) 上诱导出一个弱辛形式，ŵ₃ 在 ℳₙ(S¹)/(SL(n,ℝ)×ℝⁿ⁻¹) 上诱导出一个弱辛形式，从而确立了哈密顿结构。
• 通过李代数环上的规范作用，构造了 Bäcklund 变换与可交换定理，借助中心仿射曲率映射将层级的解相互关联。
• 通过映射 𝔪₂: ℳₙ(S¹) → O₂ 拉回余伴轨道的辛形式 τ₂，满足 𝔪₂*τ₂ = ŵ₂，证实该辛结构在几何上是自然的。