[论文解读] N\'eron's pairing and relative algebraic equivalence

Cédric Pépin|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 25被引用 5

一句话总结

本文通过在完整离散赋值域上的任意射影光滑几何连通概形的半阶化模型上，以交点理论统一描述了0-循环（次数为零）与代数等价于零的除子上的内森配对。通过使用半阶化模型，该研究将早期关于曲线（Gross-Hriljac）和阿贝尔簇（Néron）的结果推广，并以半阶化紧化上的代数等价关系重新诠释了格罗滕迪克关于内森模型对偶猜想。

ABSTRACT

Let R be a complete discrete valuation ring with algebraically closed residue field k and fraction field K. Let X_K be a projective smooth and geometrically connected scheme over K. N\'eron defined a canonical pairing on X_K between 0-cycles of degree zero and divisors which are algebraically equivalent to zero. When X_K is an abelian variety, and if one restricts to those 0-cycles supported by K-rational points, N\'eron gave an expression of his pairing involving intersection multiplicities on the N\'eron model A of A_K over R. When X_K is a curve, Gross and Hriljac gave independantly an analogous description of N\'eron's pairing, but for arbitrary 0-cycles of degree zero, by means of intersection theory on a proper flat regular R-model X of X_K. In this article, we show that these intersection computations are valid for an arbitrary scheme X_K as above and arbitrary 0-cyles of degree zero, by using a proper flat normal and semi-factorial model X of X_K over R. When X_K=A_K is an abelian variety, and X is a semi-factorial compactification of its N\'eron model A, these computations can be used to study the algebraic equivalence on X. We then obtain an interpretation of Grothentieck's duality for the N\'eron model A, in terms of the Picard functor of X over R.

研究动机与目标

• 本文旨在通过半阶化模型上的交点理论，统一描述不同几何设定下内森配对的表达形式。
• 旨在将内森对阿贝尔簇的公式以及格罗森-赫里亚杰的曲线公式，推广至完整离散赋值环上的任意射影光滑概形。
• 研究阿贝尔簇内森模型的半阶化紧化上的代数等价关系。
• 以Picard函子与代数等价关系的形式，提出格罗滕迪克关于内森模型对偶猜想的新表述。
• 本文旨在细化雅可比簇的内森与格罗滕迪克配对的计算，特别是关于分量群配对的核。

提出的方法

• 作者在XK的R-模型X上，通过在适当、平坦、正规且半阶化的R-模型X上使用交点重数，构造了通用配对[cK, DK]X。
• 通过半阶化模型中Pic(X) → Pic(XK)的满射性，证明该配对在XK为射影光滑时与内森配对一致。
• 对于阿贝尔簇，该方法利用内森模型A及其半阶化紧化A，通过A上的交点数计算配对。
• 该方法运用雷诺多的半阶化模型上的Picard函子理论以及特殊纤维的分量群理论。
• 应用雅可比簇上除子对应关系的内森配对互惠律，特别涉及theta除子与乘以d映射的拉回。
• 该方法通过有限扩张的基变换，确保有理点存在，并控制循环在分量群上的特殊化。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否对任意射影光滑且几何连通的概形XK（定义在完整离散赋值域K上），通过半阶化模型上的交点理论，统一描述0-循环（次数为零）与代数等价于零的除子的内森配对？
• RQ2 曲线与阿贝尔簇上的内森配对的交点理论描述，是否可通过半阶化模型推广至一般概形？
• RQ3 格罗滕迪克关于内森模型对偶猜想与内森模型半阶化紧化上的代数等价关系有何关联？
• RQ4 格罗滕迪克对雅可比簇的分量群配对的核的精确结构是什么？它与曲线的次数有何关系？
• RQ5 内森配对的互惠律是否可用于以内森模型上的交点数表示雅可比簇分量群之间的配对？

主要发现

• 通过半阶化模型X上的交点重数定义的通用配对[cK, DK]X，对任意射影光滑且几何连通的概形XK（定义在K上）均与内森配对一致。
• 对于曲线，该方法精确恢复了格罗森-赫里亚杰公式，配对表示为(cK.DK) + (cK.(-V))，其中使用了特殊纤维的交点矩阵。
• 对于阿贝尔簇，K-有理点上的配对恢复了内森的分解：交点数项与分量群项之和。
• 本文证明：格罗滕迪克对偶配对在分量群上为完美配对，当且仅当内森模型半阶化紧化上的代数等价关系是平凡的，从而为对偶猜想提供了新表述。
• 对于雅可比簇，证明了格罗滕迪克配对在分量群上的核被d（曲线的指标）所消去，优于先前的界。
• 本文证明了分量群上的配对⟨a, da′⟩M等于⟨da, a′⟩ mod Z，从而在d=1时证明了对偶配对为完美配对。