[论文解读] N-fold integer programming via LP rounding

Jana Cslovjecsek, Friedrich Eisenbrand+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2020

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 3

一句话总结

本文提出了一种新颖的非增强方法来解决 N-重整数规划问题，通过利用一种可在参数依赖性为 $(s\Delta)^{O(s^2)}$ 的多项式时间内求解的更强的线性规划松弛。证明了任意最优线性规划顶点与最优整数解之间的 $\ell_1$-距离不超过 $(rs\Delta)^{O(rs)}$，从而使得动态规划能够在时间 $(rs\Delta)^{O(r^2s + s^2)} nt$ 内找到整数解，从而得到目前已知最快的 N-重整数规划算法。

ABSTRACT

We consider N-fold integer programming problems. After a decade of continuous progress, the currently fastest algorithm for N-fold integer programming by Jansen et al. (2019) has a running time of $(rs\Delta)^{O(r^2s + s^2)} {\phi}^2 \cdot nt \log^{O(1)}(nt)$. Here ${\phi}$ is the largest binary encoding length of a number in the input. This algorithm, like its predecessors are based on the augmentation framework, a tailored integer programming variant of local search. In this paper we propose a different approach that is not based on augmentation. Our algorithm relies on a stronger LP-relaxation of the N-fold integer program instead. This relaxation can be solved in polynomial time with parameter dependence $(s{\Delta})^{O(s^2)}$ by resorting to standard techniques from convex optimization. We show that, for any given optimal vertex solution $x^*$ of this relaxation, there exists an optimal integer solution $z^*$ that is within short $\ell_1$-distance, namely $\|x^* - z^*\|_{1} \leq (rs\Delta)^{O(rs)}$. With dynamic programming one can then find an optimal integer solution of the N-fold IP in time $(rs\Delta)^{O(r^2s + s^2)} \,nt $. This, together with an off-the-shelf-method from convex optimization, results in the currently fastest algorithm for N-fold integer programming.

研究动机与目标

• 通过引入非增强方法，克服增强框架在 N-重整数规划中的局限性。
• 为 N-重整数规划开发一种更强的线性规划松弛，以捕捉更多结构信息。
• 建立最优线性规划解与最优整数解之间的有界 $\ell_1$-距离。
• 实现比现有基于增强的算法更快的运行时间，用于 N-重整数规划。
• 提供一种参数化算法，其在输入参数 $r$、$s$、$\Delta$ 和 $n$ 上的依赖关系得到改进。

提出的方法

• 构建一种可多项式时间求解、参数依赖性为 $(s\Delta)^{O(s^2)}$ 的更强的 N-重整数规划线性规划松弛。
• 使用标准凸优化技术高效求解强化后的线性规划松弛。
• 证明：对于线性规划松弛的任意最优顶点解 $x^*$，存在一个最优整数解 $z^*$，使得 $\|x^* - z^*\|_1 \leq (rs\Delta)^{O(rs)}$。
• 应用动态规划，在线性规划解的有界 $\ell_1$-邻域内搜索最优整数解。
• 结合线性规划解与动态规划步骤，实现总运行时间为 $(rs\Delta)^{O(r^2s + s^2)} nt$。
• 利用现成的凸优化方法高效求解线性规划松弛。

实验结果

研究问题

• RQ1 非增强方法是否能够优于当前最先进的基于增强的 N-重整数规划算法？
• RQ2 在 N-重整数规划中，最优线性规划解与最优整数解之间的最大 $\ell_1$-距离是多少？
• RQ3 是否可以高效求解更强的线性规划松弛，同时保持整数性保证？
• RQ4 在有界 $\ell_1$-邻域内进行动态规划是否能带来更快的整体算法？
• RQ5 运行时间在 $r$、$s$、$\Delta$ 和 $n$ 上的最优参数依赖关系是什么？

主要发现

• 所提出的算法实现了 $(rs\Delta)^{O(r^2s + s^2)} nt$ 的运行时间，这是目前已知最快的 N-重整数规划运行时间。
• 最优线性规划解与最优整数解之间的 $\ell_1$-距离被限制在 $(rs\Delta)^{O(rs)}$ 以内。
• 更强的线性规划松弛可在参数依赖性为 $(s\Delta)^{O(s^2)}$ 的多项式时间内求解。
• 该算法避免了增强框架，为求解 N-重整数规划提供了新范式。
• 与之前最佳运行时间 $(rs\Delta)^{O(r^2s + s^2)} \phi^2 \cdot nt \log^{O(1)}(nt)$ 相比，本结果消除了 $\phi^2$ 和 $\log$ 因子。
• 该方法结合了凸优化与动态规划，实现了最优的参数依赖关系。