[论文解读] N-Galilean conformal algebras and higher derivatives Lagrangians

Krzysztof Andrzejewski, Joanna Gonera|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2012

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文证明了当 $N$ 为奇数时，N-伽利略共形代数是包含 $\frac{N+1}{2}$ 阶时间导数的自由拉格朗日量的最大对称代数。通过诺特定理与无穷小对称性分析，作者推导出完整的对称生成元集合，表明它们在 N-伽利略共形代数下封闭，将 Niederer 对于 Schrödinger 代数的结果推广至高阶导数系统。

ABSTRACT

It is shown that the N-Galilean conformal algebra, with N-odd, is the maximal symmetry algebra of the free Lagrangian involving (N+1)/2-th order time derivative.

研究动机与目标

• 确定当 $N$ 为奇数时，包含 $\frac{N+1}{2}$ 阶时间导数的自由拉格朗日量的最大连续对称代数。
• 将 Niederer 对于 Schrödinger 代数作为自由非相对论动力学最大对称代数的刻画，推广至高阶导数系统。
• 通过高阶导数拉格朗日量与诺特对称性，建立 N-伽利略共形代数的动力实现。
• 阐明中心扩张在对称代数中的作用，表明尽管代数结构允许中心扩张，但在动力实现中并不出现。

提出的方法

• 对高阶导数拉格朗日量 $L = \frac{m}{2} \left( \frac{d^n \vec{q}}{dt^n} \right)^2$ 应用诺特对称性条件，其中 $n = \frac{N+1}{2}$。
• 使用无穷小变换 $t' = t + \epsilon \psi(t)$，$\vec{q}' = \vec{q} + \epsilon \vec{\phi}(\vec{q}, t)$，推导拉格朗日量在时间与坐标变换下的对称性条件。
• 将变换后的高阶导数项 $\frac{d^n \vec{q}'}{dt'^n}$ 按 $\epsilon$ 的一阶展开，利用链式法则与时间重参数化。
• 推导出在全时间导数意义下不变的条件，得到关于 $\psi(t)$、$\vec{\phi}(\vec{q}, t)$ 与规范函数 $f$ 的微分方程组。
• 通过假设 $\psi(t)$、$\vec{\phi}(\vec{q}, t)$ 与 $f$ 具有多项式形式，求解所得方程，得到 $\psi = \tau + \lambda t + c t^2$，$\vec{\phi} = \left(\frac{2n-1}{2}\right)(\lambda + 2c t)\vec{q} + \omega_{ab} q_b + \sum_{k=0}^n v_{ak} t^k$，以及仅依赖于 $\vec{q}^{(n-1)}$ 的 $f$。
• 识别出对称生成元对应的微分算子：$H, D, K, \vec{J}, C_{ak}$，并验证它们在 $N = 2n - 1$ 条件下满足 N-伽利略共形代数的封闭关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $N$ 为奇数时，包含 $\frac{N+1}{2}$ 阶时间导数的自由拉格朗日量的最大连续对称代数是什么？
• RQ2 N-伽利略共形代数（$N$ 为奇数）能否作为此类高阶导数拉格朗日量的诺特对称代数实现？
• RQ3 时间平移、标度变换、特殊共形变换、旋转与类洛伦兹对称（boost-like 对称）等对称生成元如何从诺特条件中涌现？
• RQ4 尽管代数结构允许中心扩张，为何动力实现中不包含中心荷？
• RQ5 该结果如何将 Niederer 定理（Schrödinger 代数是标准自由拉格朗日量最大对称代数）推广至高阶导数系统？

主要发现

• 当 $N$ 为奇数时，N-伽利略共形代数是自由拉格朗日量 $L = \frac{m}{2} \left( \frac{d^n \vec{q}}{dt^n} \right)^2$ 的最大对称代数，其中 $n = \frac{N+1}{2}$。
• 对称生成元以微分算子形式实现：$H = i\partial_t$，$D = -i\partial_t - i\frac{2n-1}{2} \vec{q} \cdot \partial_{\vec{q}}$，$K = i t^2 \partial_t + i(2n-1)t \vec{q} \cdot \partial_{\vec{q}}$，$\vec{J} = -i \vec{q} \times \partial_{\vec{q}}$，以及 $C_{ak} = i(-1)^k t^k \partial_{q_a}$。
• 对称代数在标准 N-伽利略共形代数关系下封闭，且 $N = 2n - 1$，证实了代数结构的动力实现。
• 尽管代数允许中心扩张，但动力实现中不出现中心荷，表明中心荷仅在哈密顿层级上出现。
• 对称参数的解要求 $\psi(t)$ 为二次多项式，$\vec{\phi}$ 关于 $\vec{q}$ 为线性且系数与时间相关，$\chi_a(t)$ 为 $n$ 次多项式，从而导出 $n+1$ 个类洛伦兹对称生成元 $C_{ak}$。
• 该结果推广了 Niederer 定理：正如 Schrödinger 代数是标准自由拉格朗日量的最大对称代数，N-伽利略共形代数是高阶导数自由拉格朗日量的最大对称代数。