[论文解读] N-Laplacian equations in $\mathbb{R}^{N}$ with subcritical and critical growth without the Ambrosetti-Rabinowitz condition

Nhuyen Lam, Guozhen Lu|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2010

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 24被引用 5

一句话总结

该论文在无 Ambrosetti-Rabinowitz 条件的前提下，证明了有界域 $ℝ^N$ 中 N-Laplacian 方程在次临界与临界指数增长下非平凡非负解的存在性。作者采用 Cerami 型山路定理与 Moser-Trudinger 不等式，在更弱的生长假设下证明了紧性与解的存在性。

ABSTRACT

Let $Ω$ be a bounded domain in $\mathbb{R}^N$. In this paper, we consider the following nonlinear elliptic equation of $N$-Laplacian type: $-Δ_{N}u=f(x,u)$ where $u\in W_{0}^{1,2}\{0}$ when $f$ is of subcritical or critical exponential growth. This nonlinearity is motivated by the Moser-Trudinger inequality. In fact, we will prove the existence of a nontrivial nonnegative solution to the above equation without the Ambrosetti-Rabinowitz $(AR)$ condition. Earlier works in the literature on the existence of nontrivial solutions to $N-$Laplacian in $\mathbb{R}^{N}$ when the nonlinear term $f$ has the exponential growth only deal with the case when $f$ satisfies the $(AR)$ condition. Our approach is based on a suitable version of the Mountain Pass Theorem introduced by G. Cerami \cite{Ce1, Ce2}. This approach can also be used to yield an existence result for the $p$-Laplacian equation ($1

研究动机与目标

• 在 $ℝ^N$ 的有界域中，建立 N-Laplacian 方程在次临界与临界指数增长下非平凡非负解的存在性。
• 去除变分方法中通常假设的限制性条件 Ambrosetti-Rabinowitz 条件。
• 将变分方法扩展至非线性项呈指数增长但不满足 AR 条件的情形。
• 提供一个适用于 $p$-Laplacian 方程次临界多项式增长与 $N$-Laplacian 方程指数增长的统一框架。
• 证明 Cerami 条件可用于克服临界指数增长情形下 Palais-Smale 紧性的缺失。

提出的方法

• 将 Cerami 提出的山路定理版本进行适配，以处理具有 Cerami 序列而非 Palais-Smale 序列的泛函。
• 利用 Moser-Trudinger 不等式控制能量泛函中的指数增长项，特别是在临界情形下。
• 构造一个在 $Ω$ 内球体上具有紧支集的合适测试函数序列 $M_n$，以从上方估计山路水平。
• 通过反证法证明 Cerami 序列的有界性，结合弱收敛与指数可积性估计。
• 应用 $f$ 上的条件 $(CG)$，通过截断的指数界控制非线性项，确保可积性。
• 利用归一化序列的弱收敛性与 $L^1$ 范数的强收敛性，若序列无界则导出矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 Ambrosetti-Rabinowitz 条件不成立时，$N$-Laplacian 方程在临界指数增长下是否仍存在非平凡解？
• RQ2 Cerami 条件是否足以在临界指数增长设定下保证紧性与解的存在性？
• RQ3 变分方法能否在无需 AR 条件的前提下，推广至 $p$-Laplacian 问题的次临界多项式增长情形？
• RQ4 当非线性项具有指数增长时，Moser-Trudinger 不等式在控制能量泛函中起什么作用？
• RQ5 在 $N$-Laplacian 问题中，当 AR 条件不成立时，如何验证 Cerami 序列的有界性？

主要发现

• 在给定的生长与非线性条件之下，能量泛函 $J(u) = \frac{1}{N}\int_\Omega |\nabla u|^N dx - \int_\Omega F(x,u) dx$ 在 $W_0^{1,N}(\Omega)$ 中存在有界的 Cerami 序列。
• 山路水平 $C_M$ 满足 $C_M < \frac{1}{N}\left(\frac{\alpha_N}{\alpha_0}\right)^{N-1}$，该值严格低于 Moser-Trudinger 不等式给出的临界阈值。
• Cerami 序列弱收敛于一个弱解 $u$，并通过利用 $F(x,u_n)$ 在 $L^1$ 中的衰减性，借助反证法证明了 $u$ 的非平凡性。
• 证明表明，若 $u=0$，则 $\|u_n\|^N \to NC_M < \left(\frac{\alpha_N}{\alpha_0}\right)^{N-1}$，与山路水平的下界矛盾。
• 该方法可推广至具有次临界多项式增长的 $p$-Laplacian 方程，在弱于以往文献的生长假设下仍能获得存在性结果。
• 该方法成功去除了对 Ambrosetti-Rabinowitz 条件的依赖，同时在临界指数增长情形下仍能保证非平凡解的存在性。