[论文解读] Néron models of $Pic^0$ via $Pic^0$

A Chiodo|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文通过使用具有稳定减少的曲线的雅可比的Néron模型的新几何构造，基于正规扭结曲线模型上的零度线丛的Picard函子，提出了该构造。通过关于均匀化参数的$\varepsilon$-次根进行基变换，Néron模型被实现为$\mu_\ell$-等变Picard函子的固定部分，从而在$\pi_g^\ell$的紧化上给出一个普遍的群概形，并通过$\bf t$-临界群提供了特殊纤维连通分支的新组合解释。

ABSTRACT

We provide a new description of the Néron model of the Jacobian of a smooth curve $C_K$ with stable reduction $C_R$ on a discrete valuation ring $R$ with field of fractions $K$. Instead of the regular semistable model, our approach uses the regular twisted model, a twisted curve in the sense of Abramovich and Vistoli whose Picard functor contains a larger separated subgroup than the usual Picard functor of $C_R$. In this way, after extracting a suitable $l$th root from the uniformizer of $R$, the pullback of the Néron model of the Jacobian represents a Picard functor $Pic^{0,l}$ of line bundles of degree zero on all irreducible components of a twisted curve. Over $R$, the group scheme $Pic^{0,l}$ descends to the Néron model yielding a new geometric interpretation of its points and new combinatorial interpretations of the connected components of its special fibre. Furthermore, by construction, $Pic^{0,l}$ is represented by a universal group scheme $Pic^{0,l}_{g}$ of line bundles of degree zero over a smooth compactification $\overline{M}_g^l$ of $M_g$ where all Néron models of smoothings of stable curves are cast together after base change.

研究动机与目标

• 为离散赋值环上具有稳定减少的曲线的雅可比Néron模型提供一种新的几何描述。
• 用正规扭结模型替代经典正规半稳定模型，以实现更大的分离Picard函子。
• 在基变换至$R_\ell$（即均匀化参数的$\varepsilon$-次根扩张）后，将Néron模型实现为$\mu_\ell$-等变Picard函子的固定部分。
• 在$\overline{\mathcal{M}}_g^\ell$（即$\mathcal{M}_g$的紧化）上构造一个普遍群概形${\mathcal{P}ic}^{\bf{0},\ell}_{g}$，该概形参数化所有扭结曲线上各分量的零度线丛。
• 通过扭结图的$\bf t$-临界群，对Néron模型特殊纤维的连通分支给出新的组合解释。

提出的方法

• 使用Abramovich与Vistoli引入的稳定曲线的正规扭结模型，定义一个大于标准半稳定模型上$\operatorname{Pic}^0$的Picard函子。
• 通过$R_\ell = R[t]/(t^\ell - \pi)$进行基变换，其中$\pi$是$R$的均匀化参数，以提取$\ell$-次根并实现$\mu_\ell$-等变性。
• 在扭结曲线上构造Picard函子$\operatorname{Pic}^{\bf{0},\ell}$，该函子参数化所有不可约分量上的零度线丛。
• 在$\ell$是$\bf t$-临界群的指数的倍数时，通过将$\operatorname{Pic}^{\bf{0},\ell}_{R_\ell}$拉回到$R_\ell$，将Néron模型识别为$\mu_\ell$-固定部分。
• 在$\overline{\mathcal{M}}_g^\ell$上实现普遍群概形${\mathcal{P}ic}^{\bf{0},\ell}_{g}$，即$\mathcal{M}_g$的紧化，该概形参数化所有扭结曲线上各分量的零度线丛。
• 利用$\mu_\ell$-等变性将特殊纤维分解为固定部分与移动部分，其中Néron模型被识别为固定部分$F_\ell$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用扭结曲线模型而非标准半稳定模型，几何地重构雅可比的Néron模型？
• RQ2 在通过均匀化参数的$\ell$-次根进行基变换后，扭结曲线上零度线丛的Picard函子与Néron模型有何关系？
• RQ3 $\bf t$-临界群在确定使Néron模型成为$\operatorname{Pic}^{\bf{0},\ell}$的固定部分的最小$\ell$时起什么作用？
• RQ4 在基变换后，能否通过紧化模空间上的扭结曲线的普遍群概形实现所有光滑化稳定曲线的Néron模型？
• RQ5 在扭结图中，何种组合结构控制Néron模型特殊纤维的连通分支？

主要发现

• 当$\ell$是$\bf t$-临界群$\mathcal{K}_{\bf t}(\Gamma_k)$的指数的倍数时，Néron模型的雅可比模型同构于$\operatorname{Pic}^{\bf{0},\ell}_{R_\ell}$在$R_\ell$上的$\mu_\ell$-固定部分。
• 在$\overline{\mathcal{M}}_g^\ell$上的普遍群概形${\mathcal{P}ic}^{\bf{0},\ell}_{g}$参数化所有扭结曲线上各分量的零度线丛，并在拉回到$R$后下降为$R$上的Néron模型。
• Néron模型特殊纤维的连通分支通过$\bf t$-临界群$\mathcal{K}_{\bf t}(\Gamma_k)$进行组合解释，该群控制了分支群的结构。
• 该构造提供了一种新的几何实现方式，将Néron模型视为扭结曲线上Picard函子的商，其解释比标准的$J_{C^S}$分量分解更为精细。
• 该方法通过使用扭结模型和$\mu_\ell$-等变性，避免了在紧化雅可比上需要全局群结构，从而将Néron模型识别为固定点集。
• 该结果成立当且仅当$\ell$是$\mathcal{K}_{\bf t}(\Gamma_k)$的指数的倍数，如注记5.7与推论5.6所述。