[论文解读] N-step energy of maps and fixed-point property of random groups

Hiroyasu Izeki, Takefumi Kondo+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 14被引用 4

一句话总结

该论文证明，通过图模型并利用膨胀图构造的随机群在一大类CAT(0)空间中具有不动点性质，包括所有维度有统一上界的欧几里得建筑。通过改进格罗莫夫关于n步能量增长的判据，并估计这些建筑中切锥的王不变量（δ），作者证明了此类群在所有满足δ < 1的CAT(0)空间中均固定全局点，从而将此前关于希尔伯特空间和性质(T)的结果推广至更广范围。

ABSTRACT

We prove that a random group of the graph model associated with a sequence of expanders has fixed-point property for a certain class of CAT(0) spaces. We use Gromov's criterion for fixed-point property in terms of the growth of n-step energy of equivariant maps from a finitely generated group into a CAT(0) space, to which we give a detailed proof. We estimate a relevant geometric invariant of the tangent cones of the Euclidean buildings associated with the groups PGL(m,Q_r), and deduce from the general result above that the same random group has fixed-point property for all of these Euclidean buildings with m bounded from above.

研究动机与目标

• 在希尔伯特空间之外的广泛CAT(0)空间类中，建立图模型下随机群的不动点性质。
• 通过用中心极限定理替代大偏差界，推广西尔伯曼关于性质(T)的证明技术，从而能够处理具有二度顶点的图。
• 将谱间隙不等式从希尔伯特空间目标推广至一般CAT(0)空间目标，扩大其适用范围。
• 计算或上界PGL(m, Q_r)相关欧几里得建筑中切锥的几何不变量δ（王不变量），证明当m有界时其严格小于1。
• 证明此类建筑的不动点性质可由n步能量增长的一般判据及δ的有界性推出。

提出的方法

• 采用格罗莫夫关于不动点性质的判据，该判据将等变映射进入CAT(0)空间的n步能量增长与全局不动点的存在性联系起来。
• 将西尔伯曼用于伯努利随机游走的大偏差不等式替换为中心极限定理，以估计随机游走保持在原点附近的概率。
• 引入基于随机游走的加权测度P_G^n(l)在图距离上的概率框架，用于控制等变映射的能量。
• 利用图G相对于目标空间Y的谱间隙λ_1(G,Y)来估计等变映射的n步能量E_μ(f)。
• 定义并计算度量锥的径向畸变作为王不变量δ的代理，该量控制切锥的δ-不变量。
• 将一般不动点判据应用于与PGL(m, Q_r)相关的欧几里得建筑，证明对所有p和有界m，均有δ(TC_pY) < 1。

实验结果

研究问题

• RQ1 图模型中的随机群是否在希尔伯特空间之外的CAT(0)空间中具有不动点性质？
• RQ2 格罗莫夫的n步能量判据能否有效应用于证明随机群在非希尔伯特CAT(0)空间上的不动点性质？
• RQ3 对于素数r和有界m，与PGL(m, Q_r)相关的欧几里得建筑的切锥的王不变量δ的值是多少？
• RQ4 欧几里得建筑的不动点性质是否可由δ的有界性与n步能量增长判据推出？
• RQ5 能否通过用中心极限定理替代大偏差不等式，将希尔伯特空间中使用的概率论证推广至CAT(0)目标？

主要发现

• 在不动点判据下，等变映射进入CAT(0)空间的n步能量呈次线性增长，意味着存在全局不动点。
• 对于通过图模型从膨胀图构造的随机群，n步能量增长条件在所有满足δ ≤ δ₀ < 1的CAT(0)空间中一致成立。
• 与PGL(m, Q_r)相关的欧几里得建筑的切锥的王不变量δ有上界，且该上界为严格小于1的常数，对所有有界m一致成立。
• 由于δ的上界一致有界，所有维度有上界的欧几里得建筑均满足不动点性质。
• 通过用中心极限定理替代大偏差不等式，概率论证得以简化，从而可处理具有二度顶点的图。
• 结果超越了希尔伯特空间和性质(T)，证明了对一类严格更大的CAT(0)空间（包括非对称和非局部紧致空间）也具有不动点性质。