[论文解读] n-th discrete KP hierarchy

Andrei K. Svinin|ArXiv.org|Jul 23, 2001

Polynomial and algebraic computation参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文引入了n阶离散KP族，作为使用伪差分算子和谱参数的离散KP族的推广。它建立了n阶离散KP族与通过两个相容规范变换连接的双无穷序列微分KP族之间的等价性，其中一个变换被识别为达布–贝克隆德变换，从而通过τ函数和波算子将离散与连续可积系统联系起来。

ABSTRACT

We report an infinite class of discrete hierarchies which naturally generalize familiar discrete KP one.

研究动机与目标

• 将离散KP族推广为任意n ∈ ℕ的n阶离散KP族的无限类。
• 建立n阶离散KP族与双无穷序列微分KP族之间的对应关系。
• 证明连接微分KP副本的规范变换之一为达布–贝克隆德变换。
• 表明n阶离散KP族的波函数和τ函数满足与标准离散KP族类似的双线性恒等式。
• 为通过离散与微分可积族理解多矩阵模型解提供一个框架。

提出的方法

• 引入伪差分算子 Q = Λ + a₀zⁿ⁻¹Λ¹⁻ⁿ + a₁z²⁽ⁿ⁻¹⁾Λ¹⁻²ⁿ + …，其中Λ为移位算子，aₖ依赖于时间变量t和谱参数z。
• 推导Lax方程 zᵖ⁽ⁿ⁻¹⁾∂ₚQ = [Q₊ᵖⁿ, Q]（p = 1,2,…），定义n阶离散KP族。
• 构造波函数 Ψ(t,z) = Wχ(t,z) 和对偶波函数 Ψ*(t,z) = (W⁻¹)ᵀχ*(t,z)，其中W为I + D₋中的装扮算子。
• 通过两个相容的规范变换建立n阶离散KP族与微分KP算子𝒬ᵢ = ŵᵢ∂ŵᵢ⁻¹之间的等价性：𝒬ᵢ₊ₙ₋₁ = Gᵢ𝒬ᵢGᵢ⁻¹ 和 𝒬ᵢ₊ₙ = Hᵢ𝒬ᵢHᵢ⁻¹。
• 推导Gᵢ和Hᵢ在KP流下的演化方程：∂ₚGᵢ = (𝒬ᵢ₊ₙ₋₁ᵖ)₊Gᵢ − Gᵢ(𝒬ᵢᵖ)₊，Hᵢ同理。
• 将变换𝒬ᵢ ↦ 𝒬ᵢ₊ₙ识别为达布–贝克隆德变换，其特征函数Φᵢ = τᵢ₊ₙ/τᵢ满足∂ₚΦᵢ = (𝒬ᵢᵖ)₊Φᵢ。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将离散KP族推广为任意n的n阶离散KP族的无限类？
• RQ2 n阶离散KP族与微分KP族序列之间的精确关系是什么？
• RQ3 规范变换Gᵢ和Hᵢ如何连接微分KP算子𝒬ᵢ，它们的相容性如何？
• RQ4 n阶离散KP族能否被解释为通过达布–贝克隆德变换连接的微分KP系统链？
• RQ5 哪些双线性恒等式控制n阶离散KP族的τ函数，它们与波函数结构有何关联？

主要发现

• n阶离散KP族由Lax方程 zᵖ⁽ⁿ⁻¹⁾∂ₚQ = [Q₊ᵖⁿ, Q] 定义，该方程生成伪差分算子Q中系数aₖ(i)的无限演化方程族。
• 波函数Ψ(t,z)满足离散线性系统 QΨ = zΨ 和 zᵖ⁽ⁿ⁻¹⁾∂ₚΨ = Q₊ᵖⁿΨ，其中Ψ(t,z) = Wχ(t,z) 且 χ(t,z) = (zⁱe^{ξ(t,z)})ᵢ∈ℤ。
• 分量ψᵢ(t,z) = z⁻ⁱΨᵢ(t,z) 满足微分-差分方程 Gᵢψᵢ = zψᵢ₊ₙ₋₁ 和 Hᵢψᵢ = zψᵢ₊ₙ，其中Gᵢ和Hᵢ为一阶微分算子。
• Lax算子𝒬ᵢ = ŵᵢ∂ŵᵢ⁻¹ 通过两个相容的规范变换相关联：𝒬ᵢ₊ₙ₋₁ = Gᵢ𝒬ᵢGᵢ⁻¹ 和 𝒬ᵢ₊ₙ = Hᵢ𝒬ᵢHᵢ⁻¹，且满足一致性条件 Gᵢ₊ₙHᵢ = Hᵢ₊ₙ₋₁Gᵢ。
• 变换𝒬ᵢ ↦ 𝒬ᵢ₊ₙ被识别为达布–贝克隆德变换，其特征函数Φᵢ = τᵢ₊ₙ/τᵢ 满足 ∂ₚΦᵢ = (𝒬ᵢᵖ)₊Φᵢ。
• n阶离散KP族的τ函数满足与标准离散KP族类似的双线性恒等式，其关键关系涉及τ及其达布变换版本的留数与换位子结构。