[论文解读] Nagata dimension, quasisymmetric embeddings, and Lipschitz extensions

Urs Lang, Thilo Schlichenmaier|ArXiv.org|Oct 4, 2004

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用 30

一句话总结

本论文证明，具有有限Nagata维数的度量空间可嵌入到度量树的积空间中，并具备强Lipschitz延拓性质。论文证明，每个Nagata维数≤n的度量空间均可进行双Lipschitz嵌入到n+1棵度量树的积空间中，且完备的有限Nagata维数空间是绝对Lipschitz收缩核当且仅当其对所有m=0,…,n满足Lipschitz m-连通性。

ABSTRACT

We discuss a variation of Gromov's notion of asymptotic dimension that was introduced and named Nagata dimension by Assouad. The Nagata dimension turns out to be a quasisymmetry invariant of metric spaces. The class of metric spaces with finite Nagata dimension includes in particular all doubling spaces, metric trees, euclidean buildings, and homogeneous or pinched negatively curved Hadamard manifolds. Among others, we prove a quasisymmetric embedding theorem for spaces with finite Nagata dimension in the spirit of theorems of Assouad and Dranishnikov, and we characterize absolute Lipschitz retracts of finite Nagata dimension.

研究动机与目标

• 研究Nagata维数作为度量空间中双Lipschitz与拟对称不变量的作用。
• 建立具有有限Nagata维数的度量空间可拟对称嵌入到度量树积空间中的条件。
• 通过其Lipschitz连通性性质，刻画具有有限Nagata维数的完备度量空间为绝对Lipschitz收缩核。
• 在有限Nagata维数条件下，将Lipschitz映射从子集延拓到整个空间。
• 比较Nagata维数与渐近维数，并澄清其在各种映射下的不变性性质。

提出的方法

• 将Nagata维数定义为满足如下条件的最小整数n：对每个s>0，存在一个cs有界的覆盖，其s-多重覆盖数至多为n+1。
• 利用拟对称映射证明Nagata维数在拟对称同胚下保持不变，从而说明其在拟对称下是不变量。
• 通过迭代覆盖与划分技术，构造有限Nagata维数空间到n+1棵度量树积空间的双Lipschitz嵌入。
• 应用Lipschitz延拓概念，通过单纯复形与分段线性延拓构造收缩映射。
• 利用Lipschitz连通性常数与受控覆盖族，控制延拓映射的Lipschitz常数。
• 在具有有限Nagata维数的完备空间中，建立绝对Lipschitz收缩核性质与Lipschitz m-连通性（m=0,…,n）之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有有限Nagata维数的度量空间可拟对称嵌入到度量树的积空间中？
• RQ2 Nagata维数与渐近维数有何关系？其在拟对称映射下具有何种不变性性质？
• RQ3 什么特征使得具有有限Nagata维数的完备度量空间成为绝对Lipschitz收缩核？
• RQ4 能否在有限Nagata维数条件下，将度量空间子集上的Lipschitz映射延拓到整个空间，且Lipschitz常数受控？
• RQ5 Nagata维数与度量空间的Lipschitz连通性之间存在何种关系？

主要发现

• 每个Nagata维数≤n的度量空间均可双Lipschitz嵌入到n+1棵度量树的积空间中。
• Nagata维数在拟对称同胚下保持不变，使其成为强于渐近维数的不变量。
• 完备度量空间若Nagata维数≤n，则其为绝对Lipschitz收缩核当且仅当其对所有m=0,1,…,n满足Lipschitz m-连通性。
• 从具有有限Nagata维数的空间的子集出发的Lipschitz映射，可被延拓到整个空间，其Lipschitz常数仅依赖于维数与原映射的常数。
• 具有有限Nagata维数的度量空间包括：Doubling度量空间、度量树、欧几里得建筑以及齐次Hadamard流形。
• n棵非平凡度量树的积空间的Nagata维数恰好为n，且该结论对秩为n的欧几里得建筑同样成立。