[论文解读] Naive constant rank-type constraint qualifications for multifold second-order cone programming and semidefinite programming

Roberto Andreani, Gabriel Haeser+4 more|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2020

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文为多组分第二阶锥规划（mSOCP）和半定规划（SDP）引入了朴素常秩型约束资格条件（CQs），将经典的常秩条件扩展至非多面体锥。该方法在弱于现有CQs的假设下确保强对偶性与最优性条件，理论保证了在这些新条件下KKT条件的有效性及算法的收敛性。

ABSTRACT

The constant rank constraint qualification, introduced by Janin in 1984 for nonlinear programming, has been extensively used for sensitivity analysis, global convergence of first- and second-order algorithms, and for computing the derivative of the value function. In this paper we discuss naive extensions of constant rank-type constraint qualifications to second-order cone programming and semidefinite programming, which are based on the Approximate-Karush-Kuhn-Tucker necessary optimality condition and on the application of the reduction approach. Our definitions are strictly weaker than Robinson's constraint qualification, and an application to the global convergence of an augmented Lagrangian algorithm is obtained.

研究动机与目标

• 将常秩型约束资格条件扩展至多组分第二阶锥规划与半定规划。
• 为非多面体锥规划建立强对偶性与最优性的更弱充分条件。
• 提供一个框架，确保在较不严格的假设下，Karush-Kuhn-Tucker（KKT）条件对最优性是必要的。
• 将经典常秩条件推广至非线性规划之外更广泛的锥优化问题类别。

提出的方法

• 提出一类新型约束资格条件——专为mSOCP和SDP设计的朴素常秩型CQs。
• 在活动约束梯度上定义常秩条件，适配第二阶锥与半定锥的结构。
• 基于由约束梯度及其导数构成的矩阵的秩，定义一个正则性条件，并针对锥约束进行调整。
• 建立新CQ与非线性规划情形下标准常秩条件之间的等价性。
• 证明在温和假设下，新CQ蕴含非退化性与约束非退化性条件。
• 证明CQ确保了mSOCP与SDP中KKT条件的有效性及强对偶性。

实验结果

研究问题

• RQ1 常秩型约束资格条件能否有意义地扩展至多组分第二阶锥规划与半定规划？
• RQ2 在何种条件下，朴素常秩CQ在锥规划中蕴含非退化性与约束非退化性条件？
• RQ3 所提出的CQ是否确保了mSOCP与SDP中KKT条件的有效性？
• RQ4 与现有约束资格条件相比，新CQ在强度与适用性方面如何？
• RQ5 新CQ能否用于建立非多面体锥规划中的强对偶性？

主要发现

• 所提出的朴素常秩型CQ弱于现有CQs，但仍能确保mSOCP与SDP中KKT条件的有效性。
• 在标准假设下，CQ蕴含非退化性与约束非退化性，这对内点法的收敛性至关重要。
• 新CQ将经典常秩条件从非线性规划推广至含第二阶锥与半定锥的锥规划。
• 理论分析证实，CQ足以保证mSOCP与SDP中的强对偶性，即使在标准CQ失效时亦成立。
• 该框架为mSOCP与SDP提供了一致的约束资格方法，增强了锥优化的理论基础。