[论文解读] Nakayama categories and groupoid quantization

Fabio Trova|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用 7

一句话总结

本文在Nakayama范畴的背景下，基于对偶性给出了量化函子Sum的严格构造，表明Nakayama同构自然源于伴随数据与群胚基数的重标度。在特征零情形下，通过将预-Nakayama映射以核大小的逆元进行重标度，实现了Sum的函子性，从而解决了标准拉回-推出构造中的非函子性问题。

ABSTRACT

We provide a precise description, albeit in the situation of standard categories, of the quantization functor Sum proposed by D.S. Freed, M.J. Hopkins, J. Lurie, and C. Teleman in a way enough abstract and flexible to suggest that an extension of the construction to the general context of higher categories should indeed be possible. Our method is in fact based primarily on dualizability and adjunction data, and is well suited for the homotopical setting. The construction also sheds light on the need of certain rescaling automorphisms, and in particular on the nature and properties of the Nakayama isomorphism.

研究动机与目标

• 在扩展拓扑量子场论的背景下，提供量化函子Sum的详细范畴论构造。
• 通过从对偶性和伴随数据推导Nakayama同构，消除对左、右伴随之间人为同构的依赖。
• 阐明重标度自同构（特别是Nakayama同构）在确保Sum构造函子性中的作用。
• 证明在特征零情形下，预-Nakayama映射的函子性失败可通过以群胚基数的逆元进行重标度来纠正。
• 表明标准的Dijkgraaf-Witten型TQFT自然地由此框架导出，其中对偶性和双侧性为推导出的性质，而非假设。

提出的方法

• 利用对偶性和贝克-谢瓦莱条件下的对偶配对，定义拉回函子的右、左伴随之间的比较映射γ_f。
• 引入预-Nakayama映射γ_f作为自然变换f_* → f_!，其通过在对偶范畴中成立的投影公式构造而成。
• 识别出γ_f函子性失效的障碍在于可复合映射的纤维大小非平凡，导致交换正方形不成立。
• 通过δ_f^{-1}对γ_f进行重标度，其中δ_f为在每个点x上乘以|K_x|（即f在自同构群上的核大小）的映射，从而恢复函子性。
• 将Nakayama范畴定义为具有对偶性的对称张量范畴，其中δ_f可逆，从而保证存在良好行为的量化函子。
• 将构造应用于本质有限群胚，并以群代数上的张量积与Hom空间显式计算f_!、f_*以及Nakayama同构的公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不预先假设左、右伴随之间同构的前提下构造量化函子Sum？
• RQ2 在扩展TQFT的背景下，Nakayama同构的起源与性质是什么？
• RQ3 为何标准的拉回-推出构造不具函子性，其失效如何被纠正？
• RQ4 在何种条件下，对预-Nakayama映射的重标度可恢复Sum函子的函子性？
• RQ5 结果如何特化为群表示理论中的已知构造，如诱导与余诱导？

主要发现

• 预-Nakayama映射γ_f在对偶范畴中定义良好，并满足投影公式，但由于纤维大小非平凡，其不具函子性。
• 在特征零情形下，γ_f沿可复合映射的复合偏差为标量倍数，因此可通过δ_f^{-1}的重标度恢复函子性。
• 重标度因子δ_f在每个分量上为乘以|K_x|，其中K_x是f在自同构群上的核。
• Nakayama同构为重标度映射与伴随数据的复合，且自然同构于群表示理论中的标准同构。
• 在特征零域上的有限维向量空间范畴是Nakayama范畴，因为对所有映射f，δ_f均可逆。
• 该构造恢复了已知结果：对于有限群的平凡表示，Nakayama同构与[Mo1]中的标准同构一致，且诱导函子同时为限制函子的左、右伴随。