[论文解读] Naked Singularity formation in scalar field collapse

Rituparno Goswami, Pankaj S. Joshi|ArXiv.org|Oct 28, 2004

Cosmology and Gravitation Theories被引用 6

一句话总结

该论文构建了一类具有非零势能的球对称标量场坍缩模型，其最终状态为裸奇点，且满足弱能量条件。通过采用准束缚的弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克度规并匹配至广义Vaidya外部时空，作者表明：对于非零测度的初始条件集合（具体而言，当势能指数 $ n < 2 $ 时），无法形成束缚面，奇点保持可见，从而在动力学标量场坍缩中违反了宇宙审查猜想。

ABSTRACT

We construct here a class of collapsing scalar field models with a non-zero potential, which result in a naked singularity as collapse end state. The weak energy condition is satisfied by the collapsing configuration. It is shown that physically it is the rate of collapse that governs either the black hole or naked singularity formation as the final state for the dynamical evolution. It is seen that the cosmic censorship is violated in dynamical scalar field collapse.

研究动机与目标

• 研究具有非零势能的标量场在引力坍缩中是否可能形成裸奇点，以挑战宇宙审查假说。
• 确定在何种初始条件下坍缩会导致裸奇点而非黑洞形成，尤其关注坍缩速率的作用。
• 确保在整个坍缩过程中满足弱能量条件，即使在奇点附近存在负压，也保持物理上的合理性。
• 通过将内部标量场坍缩与广义Vaidya外部时空匹配，构建完整的时空模型，确保边界条件的正则性与时空的光滑延拓。

提出的方法

• 假设标量场 $ \Phi(t) $ 具有球对称性和均匀性，势能为 $ V(\Phi) $，从而导出 $ k=0 $ 的准束缚弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克（FRW）度规。
• 在单位制 $ 8\pi G = c = 1 $ 下使用爱因斯坦方程，通过关系式 $ \rho = F'/(R^2 R') $、$ p = -\dot{F}/(R^2 \dot{R}) $ 和 $ \dot{R}^2 = F/R $ 关联能量密度 $ \rho $、压强 $ p $ 和质量函数 $ F $。
• 施加弱能量条件 $ \rho \geq 0 $、$ \rho + p \geq 0 $，确保所有类时观测者均具有非负能量密度及非负密度与压强之和。
• 求解克莱因-戈登方程 $ d/dt[a^3 \Phi] = -a^3 V_{,\Phi} $，以描述在坍缩条件 $ \dot{a} < 0 $ 下的标量场动力学。
• 在边界 $ r = r_b $ 处将内部FRW度规与广义Vaidya外部时空匹配，通过在超曲面 $ \Sigma $ 上保持第一基本形式（度规）和第二基本形式（外曲率）的连续性。
• 推导匹配条件：$ F(t,r_b) = 2M(r_v,v) $，$ (dv/dt)_\Sigma = (1 + r_b \dot{a}) / (1 - F/(r_b a)) $，以及 $ M_{,r_v} = F/(2 r_b a) + r_b^2 a \ddot{a} $，以确保时空在奇点处的光滑延拓至闵氏时空。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有非零势能的标量场坍缩会形成裸奇点而非黑洞？
• RQ2 在动力学标量场坍缩中，是否可能在满足弱能量条件的同时违反宇宙审查假说？
• RQ3 坍缩速率如何影响束缚面的形成以及奇点的可见性？
• RQ4 势能的函数形式（例如幂律形式 $ V \propto \Phi^n $）在决定坍缩最终状态中起什么作用？
• RQ5 能否通过将坍缩的标量场内部与广义Vaidya外部时空匹配，构建一个完整的时空模型，同时保持正则性并允许奇点可见？

主要发现

• 对于一类满足 $ V(\Phi) \propto \Phi^n $ 的标量场势能，当 $ n < 2 $ 时形成裸奇点，对应于非零测度的初始条件集合。
• 当 $ n < 2 $ 时，坍缩过程中不会形成束缚面，因为条件 $ F < R $ 始终成立，确保奇点保持可见。
• 在整个坍缩过程中均满足弱能量条件，即 $ \rho \geq 0 $ 且 $ \rho + p \geq 0 $，即使在奇点附近存在负压也成立。
• 外部时空在奇点处平滑延拓至闵氏时空，广义Vaidya度规在 $ r_v \to 0 $ 时退化为闵氏形式，证实不存在束缚区域。
• 非类空轨迹（包括零测地线）从奇点发出，确认其为裸奇点，从而违反宇宙审查。
• 该模型是完整且物理上一致的，边界 $ \Sigma $ 处第一和第二基本形式的匹配平滑，确保了时空结构的全局正则性。