[论文解读] Nambu dynamics and its noncanonical Hamiltonian representation in many degrees of freedom systems

A. Horikoshi|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2021

Advanced Topics in Algebra参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文表明，当多自由度系统中Nambu动力学因基本恒等式被破坏而失效时，非典范哈密顿动力学仍可通过保持雅可比恒等式来维持一致的时间演化。通过使用一个哈密顿量将Nambu括号构造为非典范泊松括号，作者证明：若泊松矩阵在不同自由度间相互独立，则雅可比恒等式——确保动力学一致性的关键——依然成立，该结论在半经典的双振子模型中得到验证。

ABSTRACT

Nambu dynamics is a generalized Hamiltonian dynamics of more than two variables, whose time evolutions are given by the Nambu bracket, a generalization of the canonical Poisson bracket. Nambu dynamics can always be represented in the form of noncanonical Hamiltonian dynamics by defining the noncanonical Poisson bracket by means of the Nambu bracket. For the time evolution to be consistent, the Nambu bracket must satisfy the fundamental identity, while the noncanonical Poisson bracket must satisfy the Jacobi identity. However, in many degrees of freedom systems, it is well known that the fundamental identity does not hold. In the present paper we show that, even if the fundamental identity is violated, the Jacobi identity for the corresponding noncanonical Hamiltonian dynamics could hold. As an example, we evaluate these identities for a semiclassical system of two coupled oscillators.

研究动机与目标

• 研究当Nambu动力学在多自由度系统中违反基本恒等式时，非典范哈密顿动力学是否仍能恢复一致的时间演化。
• 推导非典范泊松括号满足雅可比恒等式的数学条件，该括号由Nambu括号导出。
• 通过一个具有隐藏Nambu结构的半经典双振子模型，演示这种一致性的恢复。
• 阐明两个Nambu哈密顿量在决定非典范形式下雅可比恒等式是否成立时所起的不同作用。

提出的方法

• 使用三维列维-奇维塔符号和雅可比行列式，为具有n个耦合自由度系统的N=3变量定义Nambu括号。
• 通过从一个Nambu哈密顿量（G或H）导出的泊松矩阵构造非典范泊松括号，使用公式 Jij = εijk ∂G/∂xk。
• 推导雅可比恒等式成立的条件：当 α ≠ β 时，∂Jα_ij /∂xβ_k = 0，确保不同自由度的泊松矩阵相互独立。
• 将该形式化方法应用于一个半经典的双振子系统，其中哈密顿量H（含耦合）和G（解耦），使用量子算符的期望值。
• 通过计算 {{A,B,C},D,E} − [循环项之和] 验证Nambu动力学中基本恒等式的破坏，得到非零结果。
• 在两种非典范形式下检验雅可比恒等式：一种使用G（满足条件，恒等式成立），另一种使用H（违反条件，恒等式不成立）。

实验结果

研究问题

• RQ1 当Nambu动力学在多自由度系统中违反基本恒等式时，非典范哈密顿动力学是否仍能恢复一致的时间演化？
• RQ2 泊松矩阵需满足何种条件，才能使非典范表示下的Nambu动力学满足雅可比恒等式？
• RQ3 用于定义泊松矩阵的哈密顿量选择是否影响非典范形式下雅可比恒等式的有效性？
• RQ4 在具有耦合自由度的系统中，若泊松矩阵由解耦哈密顿量构造，非典范泊松括号是否仍能满足雅可比恒等式？
• RQ5 Nambu动力学中基本恒等式的破坏如何影响实际时间演化？这种破坏能否通过非典范表示加以纠正？

主要发现

• 在双振子系统中，Nambu动力学的基本恒等式被破坏：当 (A,B,C) = (x²₁, x²₂, x¹₂) 且 (D,E) = (H,G) 时，式 (3) 左侧为零，右侧为 −λ，表明一致性被破坏。
• 通过解耦哈密顿量G定义的非典范泊松括号满足雅可比恒等式，因为泊松矩阵 Jα_ij 仅依赖于其对应的自由度，满足条件 ∂Jα_ij /∂xβ_k = 0（当 α ≠ β 时）。
• 相反，通过耦合哈密顿量H定义的非典范泊松括号违反雅可比恒等式，因为泊松矩阵 ˜Jα_ij 依赖于其他自由度的变量，破坏了独立性条件。
• 当选择 (A,B) = (x¹₂, x²₂) 且 C = H 时，雅可比恒等式左侧为零，但右侧为 −λm₁ω²₁x²₁，证实了其破坏。
• 在两种非典范形式中，李维维尔定理均成立，即使在一种情况下雅可比恒等式被破坏，相空间体积仍被保持。
• 本研究表明，即使原始Nambu动力学不一致，只要泊松矩阵由解耦哈密顿量构造，非典范表示中仍可恢复一致的时间演化。