[论文解读] NAND-Trees, Average Choice Complexity, and Effective Resistance

Stacey Jeffery, Shelby Kimmel|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2015

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文引入了平均选择复杂度作为衡量两人nand树博弈难度的指标，并建立了在平均选择复杂度不超过$W$的nand树上评估的量子查询复杂度为$O(W)$。此外，本文进一步开发了一种量子策略，可在面对随机对手时以$\widetilde{O}(N^{1/4}\sqrt{\mathcal{C}})$次查询获胜，其中$\mathcal{C}$为平均选择复杂度，该策略利用了nand树、$st$-连通性以及通过有效电阻关联的跨度程序之间的联系。

ABSTRACT

We show that the quantum query complexity of evaluating NAND-tree instances with average choice complexity at most $W$ is $O(W)$, where average choice complexity is a measure of the difficulty of winning the associated two-player game. This generalizes a superpolynomial speedup over classical query complexity due to Zhan et al. [Zhan et al., ITCS 2012, 249-265]. We further show that the player with a winning strategy for the two-player game associated with the NAND-tree can win the game with an expected $\widetilde{O}(N^{1/4}\sqrt{{\cal C}(x)})$ quantum queries against a random opponent, where ${\cal C }(x)$ is the average choice complexity of the instance. This gives an improvement over the query complexity of the naive strategy, which costs $\widetilde{O}(\sqrt{N})$ queries. The results rely on a connection between NAND-tree evaluation and $st$-connectivity problems on certain graphs, and span programs for $st$-connectivity problems. Our results follow from relating average choice complexity to the effective resistance of these graphs, which itself corresponds to the span program witness size.

研究动机与目标

• 定义并形式化平均选择复杂度作为nand树两人博弈难度的精细化衡量指标，超越最坏情况下的故障复杂度。
• 建立平均选择复杂度与特定图上$st$-连通性问题跨度程序见证大小之间的紧密联系。
• 开发一种量子算法，使在面对随机对手时，nand树博弈的查询复杂度优于朴素的$\widetilde{O}(\sqrt{N})$策略。
• 将Zhan等人从故障复杂度推广到平均选择复杂度的超多项式量子加速，证明当$W$为平均选择复杂度时，查询复杂度为$O(W)$。

提出的方法

• 作者建立了nand树评估与一类图及其对偶图上$st$-连通性问题之间的对应关系，其中1-实例对应于$st$-连通子图，0-实例对应于对偶图的$st$-连通子图。
• 他们证明平均选择复杂度恰好等于跨度程序的见证大小，而后者等价于关联图的有效电阻。
• 该量子算法采用基于递归估计子树平均选择复杂度的策略，利用了近期用于估计跨度程序见证大小的算法。
• 分析基于树深度进行归纳，应用詹森不等式来界定每一层的期望查询复杂度，并利用平均选择复杂度在节点间子加性增长的特性。
• 该算法在每个节点使用一个“Select”子程序，选择估计平均选择复杂度较低的子树，以确保最小的期望查询成本。
• 应用成功概率放大，并通过从有效电阻和与深度相关的查询界限推导出的$\widetilde{O}(N^{1/4}\sqrt{\mathcal{C}})$量级来界定总查询复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 平均选择复杂度与nand树评估的量子查询复杂度之间有何关系？它能否提供比故障复杂度更紧的界？
• RQ2 平均选择复杂度能否被操作性地解释为在面对随机对手时赢得nand树博弈的量子查询成本？
• RQ3 nand树评估、图上的$st$-连通性以及底层图结构的有效电阻之间存在何种精确联系？
• RQ4 如何利用$st$-连通性的跨度程序来设计时间与查询效率更高的量子算法以用于公式评估？
• RQ5 在$st$-连通性问题中1-实例与0-实例之间的对偶性，能否启发学习图框架在量子算法中的对称性扩展？

主要发现

• 平均选择复杂度至多为$W$的nand树的量子查询复杂度为$O(W)$，推广了基于故障复杂度的先前超多项式加速结果。
• 一种针对随机对手的nand树博弈获胜的量子策略，实现了$\widetilde{O}(N^{1/4}\sqrt{\mathcal{C}})$的期望查询复杂度，其中$\mathcal{C}$为平均选择复杂度。
• nand树实例的平均选择复杂度恰好等于对应跨度程序的见证大小，而后者等价于关联图的有效电阻。
• 通过归纳法和詹森不等式，递归“Select”算法的期望查询复杂度被控制在$\widetilde{O}(N^{1/4}\sqrt{\mathcal{C}})$以内，且平均选择复杂度的增长受到子加性边界的控制。
• $st$-连通性表述中1-实例与0-实例之间的对偶性，对应于底层图的对偶性，为该问题的对称性提供了结构洞见。
• 结果表明，$st$-连通性的跨度程序可能为设计超越当前学习图范式的对称、时间高效的量子算法提供自然框架。