[论文解读] Nanoptera and Stokes Curves in the 2-Periodic Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou Equation

Christopher J. Lustri|arXiv (Cornell University)|May 17, 2019

Nonlinear Photonic Systems参考文献 56被引用 15

一句话总结

该论文运用指数渐近法分析了小质量比下具有指数衰减振荡尾部的非局部孤立波——nanoptera——在2周期Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou晶格中的行为。研究发现，当穿越复平面上的复斯托克斯曲线时，这些振荡通过斯托克斯现象出现，并推导出一个渐近条件，可预测振荡相互抵消的质量比，从而产生完全局域化的孤立波。数值模拟验证了结果，并将指数渐近方法扩展至具有近似主导解的系统。

ABSTRACT

This work presents asymptotic solutions to a singularly-perturbed, period-2 FPUT lattice and uses exponential asymptotics to examine `nanoptera', which are nonlocal solitary waves with constant-amplitude, exponentially small wave trains which appear behind the wave front. Using an exponential asymptotic approach, this work isolates the exponentially small oscillations, and demonstrates that they appear as special curves in the analytically-continued solution, known as `Stokes curves' are crossed. By isolating these the asymptotic form of these oscillations, it is shown that there are special mass ratios which cause the oscillations to vanish, producing localized solitary-wave solutions. The asymptotic predictions are validated through comparison with numerical simulations.

研究动机与目标

• 理解在小质量比下二原子FPUT晶格中nanoptera——带有指数衰减振荡尾部的孤立波——的起源与结构。
• 研究在复平面上通过斯托克斯现象，指数衰减振荡如何在远场出现。
• 推导一个渐近条件，预测振荡消失的时刻，从而形成完全局域化的孤立波。
• 通过晶格动力学的数值模拟验证渐近预测。
• 将指数渐近技术扩展至主导解并非精确而是通过长波极限近似得到的系统。

提出的方法

• 对具有小质量比δ ≪ 1的奇异摄动2周期FPUT晶格应用指数渐近法。
• 通过主导解的解析延拓，在复平面上识别奇点与斯托克斯曲线。
• 利用后继阶项与主导平衡法，推导出指数衰减振荡的渐近表达式。
• 将振荡在斯托克斯曲线处的切换识别为振荡在解中出现的机制。
• 将渐近预测的振荡振幅与无nanopteron的质量比，与使用定制时间积分格式的数值模拟进行比较。
• 采用来自先前工作的Beale假设框架与长波近似，以描述主导行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在2周期FPUT晶格中，超音速行进波的远场中，指数衰减振荡如何产生？
• RQ2 斯托克斯现象在该系统中nanoptera出现的过程中起什么作用？
• RQ3 能否推导出一个渐近条件，预测振荡尾部消失的质量比，从而形成局域化孤立波？
• RQ4 与数值模拟相比，渐近预测的振荡振幅与无nanopteron质量比的准确性如何？
• RQ5 指数渐近方法在主导解非精确而仅近似的情况下，可应用于多大程度的系统？

主要发现

• nanoptera中的指数衰减振荡源于斯托克斯现象，当穿越复平面上的斯托克斯曲线时出现。
• 推导出远场中振荡振幅的渐近表达式，如公式(51)所示。
• 推导出振荡抵消的关键条件——公式(58)——可预测nanoptera变为完全局域化孤立波的质量比。
• 数值模拟验证了渐近预测：当K = 2至6时，计算得到的无nanopteron解的质量比与渐近预测值高度吻合，相对误差低于10%。
• 抵消条件源于两股不同指数衰减波列的相消干涉，每条波列在穿越不同斯托克斯曲线时被激活。
• 该方法成功预测了单侧（亚稳态）与双侧（真正稳定）nanopteron族中的局域化解，表明抵消条件与波的对称性无关。