[论文解读] Narrowing the Complexity Gap for Colouring ($C_s$,$P_t$)-Free Graphs

Shenwei Huang, Matthew Johnson+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 13被引用 8

一句话总结

本文通过建立完整的二分法，解决了 (C_s, P_t)-free 图上 k-Colouring、k-Precolouring Extension 和 List k-Colouring 的计算复杂性：对于每个 k、s 和 t，这些问题要么是多项式时间可解的，要么是 NP-完全的。关键贡献在于确定了在固定 s 和 k 时，区分可 tractable 与不可 tractable 情况的精确阈值 t 值，特别是表明当 k ≥ 4、s = 3、t ≥ 8 或 s ≥ 5、t ≥ 6 时，List k-Colouring 是 NP-完全的，而当 t 较小或 k ≤ 3 时则为多项式时间可解。

ABSTRACT

For a positive integer $k$ and graph $G=(V,E)$, a $k$-colouring of $G$ is a mapping $c: V ightarrow\{1,2,\ldots,k\}$ such that $c(u) eq c(v)$ whenever $uv\in E$. The $k$-Colouring problem is to decide, for a given $G$, whether a $k$-colouring of $G$ exists. The $k$-Precolouring Extension problem is to decide, for a given $G=(V,E)$, whether a colouring of a subset of $V$ can be extended to a $k$-colouring of $G$. A $k$-list assignment of a graph is an allocation of a list -a subset of $\{1,\ldots,k\}$- to each vertex, and the List $k$-Colouring problem is to decide, for a given $G$, whether $G$ has a $k$-colouring in which each vertex is coloured with a colour from its list. We continued the study of the computational complexity of these three decision problems when restricted to graphs that contain neither a cycle on $s$ vertices nor a path on $t$ vertices as induced subgraphs (for fixed positive integers $s$ and~$t$).

研究动机与目标

• 对 (C_s, P_t)-free 图上的 k-Colouring、k-Precolouring Extension 和 List k-Colouring 的计算复杂性进行分类。
• 通过确定在固定 s 和 k 时 t 的精确阈值，填补这些问题的复杂性差距，即从多项式时间可解到 NP-完全的过渡点。
• 将关于弦图、二分图以及 (K_r,s, P_t)-free 图的现有结果推广，以推导出更强的二分定理。
• 识别出开放问题并提出新的研究方向，特别是 List k-Colouring 与 k-Colouring 复杂性之间的差异。

提出的方法

• 作者结合文献中的已知结果与新构造的归约，证明了特定参数范围内的 NP-完全性。
• 他们应用了关于有界 clique-width 和具有有界色数的图类的结果，例如关于 (K_s, P_t)-free 图的定理 5.2。
• 对于多项式时间可解性，他们利用了 P_t-free 和 (C_s, P_t)-free 图的已知可 tractable 结果，包括 P_5-free 图上 List k-Colouring 的线性时间算法。
• 他们使用已知 NP-完全问题的归约来证明不可解性，特别是针对 List k-Colouring 和 k-Precolouring Extension。
• 他们将不同图类（如弦图、二分图、(K_r,s, P_t)-free 图）的结果统一起来，以加强二分定理。
• 他们通过结合先前工作与新结果，特别是针对 k ≥ 4 且 s = 3 或 s ≥ 5 的情况，证明了定理 1.1。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 (C_s, P_t)-free 图上，List k-Colouring 对哪些 s、t 和 k 值是 NP-完全的或多项式时间可解的？
• RQ2 对于固定的 s 和 k，k-Precolouring Extension 从可 tractable 转变为 NP-完全的精确阈值 t 是多少？
• RQ3 是否存在某个图 H 和某个 k ≥ 3，使得 H-free 图上的 List k-Colouring 是 NP-完全的，但 k-Colouring 是多项式时间可解的？
• RQ4 List 4-Colouring 对于 P_7-free 二分图是否是 NP-完全的？
• RQ5 List 3-Colouring 和 3-Precolouring Extension 在弦状二分图上的复杂性是什么？

主要发现

• 当 k ≥ 4、s = 3、t ≥ 8 时，List k-Colouring 是 NP-完全的；当 k ≥ 4、s ≥ 5、t ≥ 6 时，List k-Colouring 也是 NP-完全的。
• 当 k ≤ 2、s ≥ 3、t ≥ 1 时，List k-Colouring 是多项式时间可解的；当 k = 3、s = 3、t ≤ 6 时，或当 k = 3、s ≥ 5、t ≤ 6 时，List k-Colouring 也是多项式时间可解的。
• 当 k = 4、s = 3、t ≥ 10 时，k-Precolouring Extension 是 NP-完全的；当 k ≥ 5、s = 3、t ≥ 10 时，k-Precolouring Extension 也是 NP-完全的。
• 当 k = 4、s = 3、t ≥ 22 时，k-Colouring 是 NP-完全的；当 k ≥ 5、s = 3、t ≥ t_k 时，k-Colouring 也是 NP-完全的，其中 t_k 仅依赖于 k。
• 当 k = 3、s = 3、t ≤ 7 时，或当 k = 3、s ≥ 5、t ≤ 7 时，k-Colouring 是多项式时间可解的。
• 本文在三个问题中识别出 21 个开放情况，包括 k = 4、s = 3、t = 7 到 21，以及 k ≥ 5、s = 3、t = k+3 到 t_k−1。