[论文解读] Nash problem for surface singularities is a topological problem

de Bobadilla, Javier Fernández|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用 5

一句话总结

本文通过在基域上定义的楔子重新诠释了表面奇点的Nash问题，引入了Nash映射双射性的拓扑判据。证明了Nash映射的像是由解析的组合结构决定的——等价于复情形下链的拓扑结构——从而将问题简化为拓扑不变量，并表明若该猜想对有理同调球链成立，则其在一般情况下也成立。

ABSTRACT

We address Nash problem for surface singularities using wedges. We give a refinement of the characterisation of A. Reguera of the image of the Nash map in terms of wedges. Our improvement consists in a characterisation of the bijectivity of the Nash mapping using wedges defined over the base field, which are convergent if the base field is the field of complex numbers, and whose generic arc has transverse lifting to the exceptional divisor of a resolution of singularities. This improves the recent results of M. Lejeune-Jalabert and A. Reguera for the surface case. In the way to do this we find a reformulation of Nash problem in terms of branched covers of normal surface singularities. As a corollary of this reformulation we prove that the image of the Nash mapping is characterised by the combinatorics of a resolution of the singularity, or, what is the same, by the topology of the abstract link of the singularity in the complex analytic case. Using these results we prove several reductions of the Nash problem, the most notable being that, if Nash problem is true for singularities having rational homology sphere links, then it is true in general.

研究动机与目标

• 通过在基域上定义的楔子，改进A. Reguera对Nash映射像的刻画。
• 建立Nash映射双射性的拓扑判据，基于通用弧向例外除子的横截提升。
• 以正规表面奇点的分支覆盖形式重新表述Nash问题。
• 证明在复情形下，Nash映射的像是由解析的组合结构或抽象链的拓扑决定的。
• 证明Nash问题可约化为有理同调球链的情形。

提出的方法

• 使用在基域上定义的楔子分析Nash映射，特别关注基域为复数时的收敛性。
• 引入通用弧向解析的例外除子的横截提升概念，作为刻画Nash映射像的关键条件。
• 应用楔子理论，将Nash问题重新表述为表面奇点的分支覆盖问题。
• 建立解析图的组合结构与Nash映射双射性之间的联系。
• 利用拓扑不变量——特别是奇点的抽象链——在复解析情形下刻画Nash映射的像。
• 通过证明有理同调球链情形下该问题的成立性可推出其在一般情形下的成立性，实现对Nash问题的约化。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过在基域上定义的、具备横截提升性质的楔子来刻画表面奇点Nash映射的双射性？
• RQ2 在复情形下，Nash映射的像是由解析的组合结构还是抽象链的拓扑决定的？
• RQ3 Nash问题能否约化为具有有理同调球链的奇点情形？
• RQ4 分支覆盖理论与表面奇点的Nash问题有何关联？
• RQ5 在复解析情形下，楔子的收敛性在刻画Nash映射中起到什么作用？

主要发现

• Nash映射的像是由奇点解析的组合结构决定的，这在复解析情形下等价于抽象链的拓扑结构。
• Nash映射的双射性等价于存在在基域上定义的楔子，其在复情形下收敛，且其通用弧可向例外除子作横截提升。
• Nash问题可约化为具有有理同调球链的奇点情形：若该猜想对这类奇点成立，则其在一般情况下也成立。
• 本文以正规表面奇点的分支覆盖形式，提供了Nash问题的新重述。
• 结果表明，奇点的拓扑类型——特别是抽象链——决定了Nash映射的像。
• 使用在基域上的楔子，对Nash映射的像提供了更精细且内在的刻画，优于Lejeune-Jalabert与Reguera的早期结果。