[论文解读] Nash Social Welfare, Matrix Permanent, and Stable Polynomials

Nima Anari, Shayan Oveis Gharan+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2016

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 12被引用 13

一句话总结

本文提出了一种针对物品分配中纳什社会福利最大化的新型凸规划松弛方法，利用实稳定多项式与永久值近似技术。通过随机舍入算法，实现了 $ 1/e $ 的近似比，其关键理论贡献是将Gurvits对稳定多项式系数的下界估计推广至所有齐次多项式。

ABSTRACT

We study the problem of allocating $m$ items to $n$ agents subject to maximizing the Nash social welfare (NSW) objective. We write a novel convex programming relaxation for this problem, and we show that a simple randomized rounding algorithm gives a $1/e$ approximation factor of the objective. Our main technical contribution is an extension of Gurvits's lower bound on the coefficient of the square-free monomial of a degree $m$-homogeneous stable polynomial on $m$ variables to all homogeneous polynomials. We use this extension to analyze the expected welfare of the allocation returned by our randomized rounding algorithm.

研究动机与目标

• 解决在公平物品分配中最大化纳什社会福利的计算困难问题。
• 开发一种避免先前方法中整数性间隙问题的凸松弛方法。
• 建立纳什福利、稳定多项式与矩阵永久值近似之间的联系。
• 设计一种具有可证明近似保证的随机舍入算法。
• 将Gurvits对稳定多项式系数的界限推广至所有齐次多项式。

提出的方法

• 在对数变量下提出一个几何规划松弛，重述为凸优化问题。
• 使用一个实稳定多项式 $ p(y_1, \dots, y_m) $，其无平方项系数对应于分配中各参与者的价值乘积。
• 设计一种随机舍入算法，根据多项式系数采样分配，确保期望纳什社会福利等于无平方项系数之和。
• 引入一个代理目标：$ \inf_{\mathbf{y}>0, y^S \geq 1 \, \forall S} p(\mathbf{y}) $，该目标下界为无平方项系数之和。
• 证明Gurvits不等式的推广：$ \sum_{S \in \binom{[m]}{n}} c_S \geq \frac{m! (m-n)^{m-n}}{m^m (m-n)!} \inf p(\mathbf{y}) $，其中 $ \geq e^{-n} \inf p(\mathbf{y}) $ 为推论。
• 利用Jerrum-Sinclair-Vigoda算法实现永久值近似，以高效计算代理目标。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一种凸松弛方法，用于纳什社会福利最大化，从而避免标准松弛方法中的整数性间隙？
• RQ2 实稳定多项式在受限定义域上的下确界与其无平方项系数之和之间存在何种关系？
• RQ3 矩阵的永久值如何与纳什社会福利及稳定多项式相联系？
• RQ4 能否设计一种随机舍入方案，使得期望纳什社会福利等于实稳定多项式无平方项系数之和？
• RQ5 是否存在对Gurvits系数界限的推广，使其适用于所有齐次稳定多项式，而不仅限于次数为 $ m $ 的情况？

主要发现

• 所提出的凸松弛方法在通过对数变换求解后，可高效优化纳什社会福利目标。
• 随机舍入算法实现的期望纳什社会福利至少为最优值的 $ 1/e $。
• 关键不等式推广了Gurvits的结果，表明一个 $ n $ 次、齐次、实稳定的多项式，其无平方项系数之和至少为该多项式在 $ y^S \geq 1 $ 对所有 $ n $-子集 $ S $ 的定义域上的下确界值的 $ e^{-n} $ 倍。
• 近似因子 $ 1/e $ 的实现不依赖于组合市场结构，使该方法具有广泛适用性。
• 该方法利用Jerrum、Sinclair与Vigoda的永久值近似算法，高效计算代理目标，从而实现多项式时间的实现。
• 该界几乎紧致，如示例 $ p = (y_1 + \cdots + y_n)^n $ 所示，LHS与RHS的比值趋近于 $ e^{-n} $。