[论文解读] Natural Connections on Riemannian Product Manifolds

Dobrinka Gribacheva|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2011

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 1被引用 8

一句话总结

本文研究了自然线性联络——即在黎曼积流形上同时保持黎曼度量和可积几乎乘积结构的联络——这些流形是Nijenhuis张量为零的黎曼几乎乘积流形。论文证明了：唯一一个其挠率仅依赖于张量 $ F $ 的自然联络是典范联络；并刻画了在 $ \mathcal{W}_1 $ 流形上存在一个二维参数族的自然联络，其挠率通过 $ g \otimes \theta $ 表示，其中情形B对除典范联络外的所有此类联络成立。

ABSTRACT

A Riemannian almost product manifold with integrable almost product structure is called a Riemannian product manifold. In the present paper the natural connections on such manifolds are studied, i.e. the linear connections preserving the almost product structure and the Riemannian metric.

研究动机与目标

• 对黎曼积流形上的自然线性联络进行分类，即那些同时保持度量 $ g $ 和可积几乎乘积结构 $ P $ 的联络。
• 确定哪些自然联络的挠率可仅用张量 $ F(x,y,z) = g((\nabla_x P)y, z) $ 表示，该张量由Levi-Civita联络导出。
• 分析挠率通过张量 $ g \otimes \theta $ 表示的自然联络，其中 $ \theta $ 是与 $ F $ 相关的Lee 1-形式，特别关注 $ \mathcal{W}_1 $ 类流形。
• 建立此类联络的存在性与结构，根据挠率在不变子空间 $ \mathcal{T}_i $ 上的分解进行区分。

提出的方法

• 基于Staikova-Gribachev对黎曼几乎乘积流形的分类，依据张量 $ F $，聚焦于对应于黎曼积流形的 $ \mathcal{W}_1 \oplus \mathcal{W}_2 $ 类。
• 将挠率张量空间分解为四个正交不变子空间 $ \mathcal{T}_1, \mathcal{T}_2, \mathcal{T}_3, \mathcal{T}_4 $，并利用该分解分析挠率性质。
• 将典范联络导出为唯一一个挠率属于 $ \mathcal{T}_1 $ 的自然联络，证明其由 $ F $ 和 $ \theta $ 的特定表达式唯一确定。
• 分析挠率通过 $ g \otimes \theta $ 表示的联络，利用参数 $ \lambda $ 和 $ \mu $ 在 $ \mathcal{W}_1 $ 流形上推导出此类挠率的二维参数族。
• 证明情形B（挠率属于 $ \mathcal{T}_1 \oplus \mathcal{T}_4 $，但不单独属于 $ \mathcal{T}_1 $ 或 $ \mathcal{T}_4 $）对除典范联络外的所有此类联络成立，而情形C不可能出现。
• 通过直接计算验证条件，表明典范联络在一般挠率公式中对应于 $ \lambda = 0, \mu = -\frac{1}{4n} $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在黎曼积流形上，是否存在唯一一个其挠率仅依赖于张量 $ F $ 的自然联络？
• RQ2 在何种条件下，存在一个自然联络，其挠率可表示为 $ g \otimes \theta $ 的形式？
• RQ3 当此类自然联络存在时，其空间的结构是怎样的？
• RQ4 为何对于挠率以 $ g \otimes \theta $ 形式表示的自然联络，情形C不会出现？
• RQ5 挠率分量 $ \mathcal{T}_1 $ 和 $ \mathcal{T}_4 $ 如何与典范联络和非典范联络相关联？

主要发现

• 在任意黎曼积流形 $ (M,P,g) \in \mathcal{W}_1 \oplus \mathcal{W}_2 $ 上，典范联络是唯一一个其挠率仅依赖于 $ F $ 的自然联络，且其挠率完全位于 $ \mathcal{T}_1 $ 分量中。
• 对于 $ (M,P,g) \in \mathcal{W}_1 $，存在一个由参数 $ \lambda, \mu \in \mathbb{R} $ 参数化的二维自然联络族，其挠率通过 $ g \otimes \theta $ 表示，通式见公式 (5.2)。
• 典范联络在该族中对应于特定值 $ \lambda = 0, \mu = -\frac{1}{4n} $，其挠率由公式 (4.3) 明确定义。
• 情形B（挠率位于 $ \mathcal{T}_1 \oplus \mathcal{T}_4 $，但不单独位于 $ \mathcal{T}_1 $ 或 $ \mathcal{T}_4 $ 中）对除典范联络外的所有此类联络成立。
• 对于任何挠率以 $ g \otimes \theta $ 形式表示的自然联络，情形C均不存在，因为此类联络总是满足情形B的条件。
• 在 $ \mathcal{W}_2 $ 流形上（即 $ \theta = 0 $），不存在挠率位于 $ g \otimes \theta $ 的此类联络，唯一可能的是典范联络（情形A）。