[论文解读] Natural Coordinate System in Curved Space-time

Ying-Qiu Gu|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2006

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文在弯曲时空引入了一种‘自然坐标系’（NCS），使时间坐标与物理世界随时间演化的、正交于空间超曲面的瞬时性相一致。通过构建一个全局有效的坐标系，使时间坐标正交于代表真实时间瞬时性的空间超曲面，该方法简化了爱因斯坦场方程，并为动力学提供了清晰的几何与物理解释，尤其在弱场和低速极限下表现突出。

ABSTRACT

In this paper we establish a generally and globally valid coordinate system in curved space-time with the simultaneous hypersurface orthogonal to the time coordinate. The time coordinate can be preseted according to practical evolving process and keep synchronous with the evolution of the realistic world. In this coordinate system, it is convenient to express the physical laws and to calculate physical variables with clear geometrical meaning. We call it "natural coordinate system". The constructing method for the natural coordinate system is concretely provided, and its physical and geometrical meanings are discussed in detail. In NCS we make classical approximation of spinor equation to get Newtonian mechanics, and then make weak field approximation of Einstein's equation and low speed approximation of particles moving in the space-time. From the analysis and examples we find it is a nice coordinate system to describe the realistic curved space-time, and is helpful to understand the nature of space-time.

研究动机与目标

• 在弯曲时空建立一个全局有效的坐标系，通过使时间坐标与随时间演化的瞬时性超曲面对齐，尊重宇宙的物理演化。
• 确保时间坐标正交于超曲面，从而实现清晰的哈密顿形式化，并简化诺特定征荷的计算。
• 提供一种构造性方法，通过常规的空间坐标变换，将任意给定的时空度量转换为这种自然坐标系。
• 在弱场和低速极限下，展示NCS在物理和几何上的优势，特别是其能自然恢复牛顿力学并简化爱因斯坦方程。
• 通过展示坐标条件在NCS中自然地从动力学和初始/边界条件中涌现，澄清坐标条件在广义相对论中的作用。

提出的方法

• 通过求解关于 $ \frac{\text{d}x^k}{\text{d}t} = -\bar{g}^{kl} A_l $ 的一阶常微分方程组，构造坐标变换 $ x^k = x^k(t, y^l) $，以消除交叉项 $ dt\thinspace dy^k $，确保 $ dt $ 与 $ dy^k $ 正交。
• 利用存在唯一且全局定义的瞬时性超曲面 $ f(x^\nu) = C $，其中 $ f $ 满足 $ \nabla_\nu f > 0 $ 且足够光滑，将时间坐标重定义为 $ t = f(x^\nu) $。
• 对度量应用ADM分解，将其简化为 $ ds^2 = g_{tt} dt^2 - g_{kl} dy^k dy^l $，并从里奇张量分量推导出联络系数 $ \tilde{\boldsymbol{\rho}}^\nu $ 和 $ \tilde{\boldsymbol{\rho}}^\nu $。
• 通过求解 $ G^{00} $ 和 $ G^{0k} $ 方程，推导出度量扰动 $ h_{kl} $ 的波动方程，得到 $ \frac{1}{2}\nabla^2 \tilde{\rho} = \frac{\tilde{\rho}}{2} $ 和 $ \frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}(\tilde{\boldsymbol{\rho}}^k - \nabla^k \tilde{\rho}) = \text{源项} $。
• 对旋量方程和爱因斯坦方程进行经典近似与弱场近似，表明牛顿引力在NCS中自然涌现。
• 证明在NCS中，粒子运动方程的引力磁力项消失，这与其它坐标系不同，原因在于测地线方程中不包含依赖于 $ \tilde{\boldsymbol{\rho}}^k $ 的项。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在弯曲时空构造一个全局有效的坐标系，使得时间坐标正交于代表演化宇宙物理瞬时性的空间超曲面？
• RQ2 这种坐标系如何从给定的时空度量系统地构造？其对度量和坐标变换的必要条件是什么？
• RQ3 该坐标系对广义相对论的哈密顿形式化及守恒荷的计算有何影响？
• RQ4 自然坐标系如何简化广义相对论的弱场和低速极限？粒子运动方程的最终形式是什么？
• RQ5 为何该坐标系中引力磁力项消失？与标准坐标系中的存在状态相比有何不同？

主要发现

• 在弯曲时空存在一个全局有效的自然坐标系（NCS），其时间坐标正交于随时间演化的瞬时性超曲面 $ f(x^\nu) = C $，且可通过常规空间坐标变换构建。
• 该构造基于求解一阶常微分方程组 $ \frac{\text{d}x^k}{\text{d}t} = -\bar{g}^{kl} A_l $，确保 $ dt $ 与 $ dy^k $ 正交，且对给定初始条件保证唯一解。
• 在NCS中，爱因斯坦场方程显著简化：$ G^{00} $ 和 $ G^{0k} $ 分量分别导出关于 $ \tilde{\rho} $ 和 $ \tilde{\boldsymbol{\rho}}^k $ 的独立方程，进而用于推导 $ h_{kl} $ 的波动方程。
• 在NCS中，旋量方程的经典近似重现了牛顿力学，清晰展示了量子力学、经典力学与广义相对论之间的几何与动力学联系。
• 在弱场和低速极限下，NCS中粒子运动方程的形式为 $ \frac{d}{dt}v^k = -\nabla_k \tilde{\rho} + v^k \frac{\text{d}}{\text{d}t}\tilde{\rho} + v^n \frac{\text{d}}{\text{d}t}h_{kn} $，其中引力磁力项缺失。
• NCS中的坐标条件并非预先设定，而是从动力学、初始条件以及瞬时性超曲面的演化中自然涌现，因此具有物理上的自然性与自洽性。