[论文解读] Natural domain decomposition algorithms for the solution of time-harmonic elastic waves

Romain Brunet, Victorita Dolean+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2019

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 27被引用 7

一句话总结

本文提出并分析了用于求解由Navier方程控制的时间谐弹性波问题的优化Schwarz区域分解方法。证明了经典Schwarz方法在这些方程上发散，但表明使用物理上合理的传输条件——尤其是局部低频近似——可实现收敛，并作为Krylov求解器的预条件器表现出优越性能，显著优于经典方法，无论是在双子域还是多子域问题中，包括非均匀传输问题。

ABSTRACT

We study for the first time Schwarz domain decomposition methods for the solution of the Navier equations modeling the propagation of elastic waves. These equations in the time harmonic regime are difficult to solve by iterative methods, even more so than the Helmholtz equation. We first prove that the classical Schwarz method is not convergent when applied to the Navier equations, and can thus not be used as an iterative solver, only as a preconditioner for a Krylov method. We then introduce more natural transmission conditions between the subdomains, and show that if the overlap is not too small, this new Schwarz method is convergent. We illustrate our results with numerical experiments, both for situations covered by our technical two subdomain analysis, and situations that go far beyond, including many subdomains, cross points, heterogeneous materials in a transmission problem, and Krylov acceleration. Our numerical results show that the Schwarz method with adapted transmission conditions leads systematically to a better solver for the Navier equations than the classical Schwarz method.

研究动机与目标

• 研究经典Schwarz方法在由Navier方程建模的时间谐弹性波问题中的收敛行为。
• 解决弹性波问题中缺乏有效区域分解求解器的问题，这些问题比Helmholtz问题更具挑战性，因其具有矢量性质和多种波型。
• 开发并分析新的传输条件，以确保Schwarz方法在Navier方程上的收敛性。
• 设计最优传输条件的局部低频近似，以实现实际应用，同时保持收敛性。
• 通过数值实验验证新方法在复杂场景下作为求解器和预条件器的优越性能，包括多子域和非均匀材料设置。

提出的方法

• 在时间谐波状态下，于连续层面分析两个重叠子域上的经典Schwarz算法，证明其在Navier方程上不收敛。
• 引入更自然、物理上合理的子域间传输条件，表明其可使方法在有限步内收敛。
• 提出最优传输条件的局部低频近似，以避免非局部算子，从而实现实际应用。
• 证明在子域重叠不过小的条件下，新优化的Schwarz方法具有收敛性。
• 采用受限加法Schwarz（RAS）和优化RAS（ORAS）方法实现离散问题的求解，支持并行计算。
• 使用GMRES作为Krylov求解器，并将经典和优化Schwarz方法分别用作预条件器，以评估性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何经典Schwarz方法在应用于时间谐弹性波的Navier方程时无法收敛？
• RQ2 能否通过反映P波和S波物理行为的传输条件，使Schwarz方法在Navier方程上实现收敛？
• RQ3 是否可以构建最优传输条件的局部低频近似，以保持Navier方程上的收敛性？
• RQ4 在复杂、多子域及非均匀问题中，优化Schwarz方法与经典方法相比，作为求解器和预条件器的性能如何？
• RQ5 增加子域重叠是否能改善优化Schwarz方法的收敛性？若能，其条件是什么？

主要发现

• 经典Schwarz方法在应用于Navier方程时即使存在重叠也会发散，无法用作迭代求解器。
• 包含非局部算子的最优传输条件可使Schwarz方法在两次迭代内收敛，但实际实现不切实际。
• 最优传输条件的局部低频近似可在重叠足够大的前提下确保优化Schwarz方法的收敛性。
• 数值实验表明，优化Schwarz方法作为求解器可收敛，而经典方法即使增加重叠也发散。
• 当用作GMRES的预条件器时，优化Schwarz方法所需迭代次数显著少于经典方法，尤其在多子域、交叉点和材料非均匀性问题中。
• 优化Schwarz方法的收敛性随重叠增加而改善，而经典方法在相同条件下性能反而下降。