[论文解读] Natural generalized inverse and core of an element in semigroups, rings and Banach and Operator Algebras

Xavier Mary|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2012

Matrix Theory and Algorithms参考文献 19被引用 7

一句话总结

本文引入了半群、环及巴拿赫/算子代数中元素的自然广义逆与核心，推广了Drazin与Koliha-Drazin逆。通过元素的逆与幂等元上的自然偏序，建立了类似于幂零、Kato或Mbekhta分解的核心分解，其在算子代数的谱理论与局部谱理论中具有应用。

ABSTRACT

Using the recent notion of inverse along an element in a semigroup, and the natural partial order on idempotents, we study bicommuting generalized inverses and define a new inverse called natural inverse, that generalizes the Drazin inverse in a semigroup, but also the Koliha-Drazin inverse in a ring. In this setting we get a core decomposition similar to the nilpotent, Kato or Mbekhta decompositions. In Banach and Operator algebras, we show that the study of the spectrum is not sufficient, and use ideas from local spectral theory to study this new inverse.

研究动机与目标

• 通过半群与环中元素的逆概念，推广Drazin与Koliha-Drazin逆。
• 定义一种新的逆——自然逆，以统一并扩展代数与算子理论框架下的现有广义逆。
• 利用自然逆建立类似于幂零、Kato或Mbekhta分解的元素核心分解。
• 研究局部谱理论在巴拿赫代数与算子代数中的作用，表明仅靠谱性质不足以刻画自然逆。
• 探讨与自然逆相关的超不变子空间与投影的结构，尤其关注其与解析核心及谱性质的关系。

提出的方法

• 使用半群中元素的逆概念，基于Green的预序与幂等元上的自然偏序。
• 将自然广义逆定义为与元素可交换的幂等元集合中满足 $ eae \mathcal{H} e $ 的最大元素，以元素的逆作为关键工具。
• 应用元素的逆推导等价条件：$ d \leq_{\mathcal{R}} da $ 且 $ (da)^\sharp $ 存在，或 $ dad \mathcal{H} d $，其中 $ a^{\parallel d} = d(ad)^\sharp = (da)^\sharp d $。
• 利用幂等元上的自然偏序定义 $ \Sigma_0(a), \Sigma_1(a), \Sigma_2(a) $，并识别 $ \Sigma_2(a) $ 中的最大幂等元为自然逆的核心投影。
• 在巴拿赫代数中应用局部谱理论分析自然逆，特别关注解析核心 $ K(T) $、超不变补子空间 $ N $ 以及在 0 处的单值扩张性质（SVEP）。
• 利用谱分解与超不变子空间结构，证明当 $ K(T) $ 闭且超不变补时，自然逆存在。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在半群与环中建立一个统一框架，以统一并推广Drazin与Koliha-Drazin逆？
• RQ2 元素的逆在利用幂等元上的自然偏序构造自然广义逆的过程中起什么作用？
• RQ3 在巴拿赫代数与算子代数中，哪些谱性质与局部谱性质是自然逆存在性的充要条件？
• RQ4 自然逆与解析核心 $ K(T) $、超不变补子空间及在 0 处的单值扩张性质（SVEP）有何关系？
• RQ5 在何种条件下，自然逆可实现类似于幂零或Kato分解的核心分解？

主要发现

• 自然逆存在的充要条件是解析核心 $ K(T) $ 闭且超不变补，且 $ \Sigma_2(T) $ 中的最大幂等元即为 $ K(T) $ 上的投影。
• 自然逆的核心 $ TM = TBT $ 是解析核心 $ K(T) $ 的闭、超不变、可补子空间，且满足 $ TK_\nu(T) = K_\nu(T) $。
• 若 $ K(T) = \{0\} $，则 $ \Sigma_1(T) = \{0\} $；类似地，若 $ \overline{H_0(T)} = X $，则 $ \Sigma_1(T) = \{0\} $，表明此时自然逆为平凡。
• 对于 $ \ell^2(\mathbb{N}) $ 上的单边移位算子 $ S $，有 $ \Sigma_1(S) = \{0\} $，即使 $ S $ 不是拟幂零算子，原因在于其超值域的平凡性。
• 强不可约算子满足 $ \Sigma_1(T) = \{0\} $，且谱 $ \sigma(T) $ 连通当且仅当 $ T $ 属于此类算子的范数闭包。
• 当 $ \sigma(X) \cap \sigma(Y) = \{0\} $ 时，算子 $ T = \begin{pmatrix} X & 0 \\ 0 & Y \end{pmatrix} $ 具有自然核心分解，且 $ M = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $ 为 $ \Sigma_2(T) $ 的最大元素，与Rosenblum推论一致。