[论文解读] Natural halting probabilities, partial randomness, and zeta functions

Cristian S. Calude, Michael Stay|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2006

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 23被引用 32

一句话总结

本文引入了图灵机的zeta数、自然停止概率和自然复杂度，建立了一个新框架，将图灵机分类为发散型、收敛型或喙齿蜥型（tuatara）。证明了通用收敛型和喙齿蜥型图灵机的存在性，并表明通用喙齿蜥型图灵机的zeta数既是递归可枚举的，也是算法随机的，同时引入了一种新颖的部分随机性形式——渐近随机性，并通过普通复杂度给出了其表征。

ABSTRACT

We introduce the zeta number, natural halting probability, and natural complexity of a Turing machine and we relate them to Chaitin's Omega number, halting probability, and program-size complexity. A classification of Turing machines according to their zeta numbers is proposed: divergent, convergent, and tuatara. We prove the existence of universal convergent and tuatara machines. Various results on (algorithmic) randomness and partial randomness are proved. For example, we show that the zeta number of a universal tuatara machine is c.e. and random. A new type of partial randomness, asymptotic randomness, is introduced. Finally we show that in contrast to classical (algorithmic) randomness--which cannot be naturally characterised in terms of plain complexity--asymptotic randomness admits such a characterisation.

研究动机与目标

• 将图灵机的zeta数、自然停止概率和自然复杂度定义并分析为Chaitin的Omega数与程序大小复杂度的类比。
• 基于zeta数，将图灵机分类为发散型、收敛型或喙齿蜥型。
• 研究这些新度量在通用机器上的算法随机性与部分随机性性质，特别是其在通用机器上的表现。
• 引入并形式化一种新的部分随机性形式——“渐近随机性”，并将其与普通复杂度联系起来。

提出的方法

• 将图灵机的zeta数定义为所有停止程序的2^(-|p|)之和，其中|p|表示程序p的长度。
• 根据zeta数的收敛行为对图灵机进行分类：发散型（无穷和）、收敛型（有限和）或喙齿蜥型（收敛但不可递归枚举）。
• 通过对角化和编码技术，构造收敛型和喙齿蜥型类中的通用机器，并证明其存在性。
• 通过分析zeta数的算法信息含量，建立zeta数与算法随机性之间的联系。
• 将渐近随机性定义为一种部分随机性形式，其特征是实数二进制展开中各位数的相对频率在极限下趋近于1/2。
• 使用普通复杂度（K(x)）来表征渐近随机性，证明一个实数是渐近随机的，当且仅当其初始段的普通复杂度在低阶项内达到最大值。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为图灵机定义一种自然的停止概率，以推广Chaitin的Omega数？
• RQ2 是否存在属于收敛型或喙齿蜥型类别的通用图灵机？它们具有何种性质？
• RQ3 通用喙齿蜥型图灵机的zeta数是否同时具有递归可枚举性和算法随机性？
• RQ4 能否以普通复杂度为依据，定义并表征一种新的部分随机性形式——“渐近随机性”？
• RQ5 与基于复杂度表征的经典算法随机性相比，渐近随机性在复杂度表征上有什么不同？

主要发现

• 通用喙齿蜥型图灵机的zeta数既是递归可枚举的，也是算法随机的。
• 存在通用收敛型和喙齿蜥型图灵机，证明了收敛性与通用性可以共存。
• 通用喙齿蜥型图灵机的zeta数不仅具有随机性，还属于c.e.实数类，将算法随机性与可计算性理论联系起来。
• 渐近随机性被引入为一种新的部分随机性形式，并可通过普通复杂度进行表征。
• 与经典算法随机性（无法通过普通复杂度表征）不同，渐近随机性完全由初始段的普通复杂度在低阶项内达到最大值这一条件所表征。
• 本文证明了通用喙齿蜥型图灵机的zeta数是一个自然的、随机的且c.e.的实数，为算法随机性提供了一个新的典范例子。