[论文解读] Natural homotopy of multipointed d-spaces

Philippe Gaucher|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2024

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 1

一句话总结

本文建立了多点定向空间与定向空间之间的完整反射子范畴关系，使得Baues-Wirsching的自然系统可被推广至多点定向空间。它为细胞型多点定向空间构造了同伦不变的拓扑空间自然系统及其离散版本，并证明二者在同伦意义下双相似。该框架在球状剖分下保持不变，提供了Dubut在立方体设定下的结果的球状类比，且适用范围广于先前的方法。

ABSTRACT

We identify Grandis' directed spaces as a full reflective subcategory of the category of multipointed $d$-spaces. When the multipointed $d$-space realizes a precubical set, its reflection coincides with the standard realization of the precubical set as a directed space. The reflection enables us to extend the construction of the natural system of topological spaces in Baues-Wirsching's sense from directed spaces to multipointed $d$-spaces. In the case of a cellular multipointed $d$-space, there is a discrete version of this natural system which is proved to be bisimilar up to homotopy. We also prove that these constructions are invariant up to homotopy under globular subdivision. These results are the globular analogue of Dubut's results. Finally, we point the apparent incompatibility between the notion of bisimilar natural systems and the q-model structure of multipointed $d$-spaces and we give some suggestions for future works.

研究动机与目标

• 在多点定向空间中建立定向空间的完整反射子范畴嵌入。
• 将Baues-Wirsching的自然系统构造从定向空间推广至一般的多点定向空间。
• 为细胞型多点定向空间定义一个离散自然系统，并证明其与连续版本在同伦意义下双相似。
• 证明这些构造在球状剖分下保持不变。
• 识别出q-模型结构与多点定向空间中自然系统双相似性之间的根本不相容性。

提出的方法

• 构建一个从多点定向空间到定向空间的反射函子 →Sp，确保定向路径是执行路径片段的有限复合。
• 通过其反射 →Sp(X) 的定向路径，为任意多点定向空间X定义一个拓扑空间的自然系统 →NT(X)。
• 对于细胞型多点定向空间，引入一个使用球状胞腔中心的离散自然系统 →NTd(X)。
• 证明从 →NT(X) 到 →NTd(X) 的映射在同伦意义下是开的，从而意味着双相似性。
• 通过证明此类映射诱导出同伦双相似的自然系统，展示其在球状剖分下的不变性。
• 通过反例表明，q-模型结构中的弱等价性不保持自然系统双相似性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Baues-Wirsching的自然系统构造能否从定向空间推广至更广泛的多点定向空间类别？
• RQ2 是否存在一种离散且计算上可处理的自然系统版本，适用于细胞型多点定向空间，且与连续版本在同伦意义下等价？
• RQ3 这些构造是否在球状剖分下保持不变，类似于Dubut在立方体设定下的结果？
• RQ4 多点定向空间的q-模型结构与自然系统双相似性的概念之间存在何种关系？
• RQ5 q-模型结构弱等价性与自然系统双相似性之间的明显不相容性是否可被解决或重新解释？

主要发现

• 通过函子 →Sp，定向空间的范畴作为多点定向空间的完整反射子范畴被嵌入，该函子将每个多点定向空间反射为其最大定向子空间。
• 对于任意多点定向空间X，其拓扑空间自然系统 →NT(X) 是良好定义的，并将Baues-Wirsching从定向空间出发的构造得以推广。
• 对于细胞型多点定向空间，利用球状胞腔中心构造了离散自然系统 →NTd(X)，且其与 →NT(X) 在同伦意义下双相似。
• →NT(X) 与 →NTd(X) 的构造在球状剖分下保持不变：若 f: X → Y 是一个球状剖分，则 →NT(X)、→NT(Y)、→NTd(X) 与 →NTd(Y) 在同伦意义下全部双相似。
• 通过反例表明，q-模型结构中的弱等价性不保持自然系统双相似性，表明两种框架之间存在明显的不相容性。
• 本文建议，q-模型结构与自然系统双相似性可能代表了定向代数拓扑中不相容的形式化体系。