[论文解读] Natural nonequilibrium states in quantum statistical mechanics

David Ruelle|ArXiv.org|Jun 7, 1999

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 14被引用 31

一句话总结

本文提出了一套严格的框架，用于定义有限子系统与不同温度下无限热库耦合的量子自旋系统中的自然非平衡稳态（NNES）。基于时间积分的换向器收敛性的公理化方法，建立了在远离平衡时依然有效的线性响应公式，其解析性类似于时间不变情况下的KMS态。

ABSTRACT

A quantum spin system is discussed, where a heat flow between infinite reservoirs takes place in a finite region. A time dependent force may also be acting. Our analysis is based on a simple technical assumption concerning the time evolution of infinite quantum spin systems. This assumption, physically natural but currently proved for few specific systems only, says that quantum information diffuses in space-time in such a way that the time integral of the commutator of local observables converges: $\int_{-\infty}^0dt ||[B,α^tA]||

研究动机与目标

• 为有限子系统与不同温度下无限热库耦合的量子自旋系统定义自然非平衡稳态（NNES）。
• 建立一个数学框架，使非平衡态保有类似于KMS平衡态的解析性质。
• 推导出在相互作用微小扰动下有效的线性响应公式，即使在远离平衡时也成立。
• 解决具有哈密顿力的量子系统中非平衡动力学的挑战，避免使用非哈密顿系综。
• 为使用$C^*$-代数方法和时间演化同构关系研究开放量子系统的量子输运与响应提供基础。

提出的方法

• 对无限量子自旋系统的时间演化引入技术性假设（A1）–（A5），特别是要求对局域可观测量有$\int dt\, ||[B, \alpha^t A]|| < \infty $的收敛性。
• 定义全相互作用代数$\mathcal{A}$与热库代数$\mathcal{A}_{>} $之间的$*$-同构$\omega_t$，使全时间演化$\alpha^t$与非相互作用演化$\breve{\alpha}^t$相联系。
• 通过$\rho_t = \omega_t^{-1} \circ \sigma$将NNES $\rho_t$ 构造为在遥远过去渐近于非相互作用平衡态$\sigma$的状态。
• 推导出相互作用哈密顿量中扰动$\delta h(\cdot)$的线性响应公式：$\frac{d}{d\lambda}\rho_t^\lambda(A)\big|_{\lambda=0} = i\int_{-\infty}^t d\tau\, \rho_t([\alpha(t,\tau)\delta h(\tau), A])$。
• 利用时间有序微扰展开及同构$\omega_t$在小扰动下的稳定性，证明$\rho_t^\lambda(A)$的可微性与解析性。
• 在换向器范数一致收敛的假设下，利用迭代换向器与时间有序积分建立高阶响应公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为与多个不同温度下无限热库耦合的有限量子系统构造出一个明确定义的非平衡稳态？
• RQ2 所提出的NNES是否在时间不变情况下保留类似于KMS态的解析性质？
• RQ3 能否推导出即使在远离平衡时依然有效的线性响应公式，与传统的格林-柯布或昂萨格型方法形成对比？
• RQ4 如何通过$*$-同构将相互作用量子系统动力学与非相互作用参考动力学联系起来？
• RQ5 在何种条件下，局域可观测量的时间演化能保证换向器积分的收敛性，从而实现NNES的构造？

主要发现

• 自然非平衡态$\rho_t$通过$*$-同构$\omega_t$定义，该同构将非相互作用平衡态$\sigma$映射到相互作用系统的态，确保在遥远过去的渐近一致性。
• 对于时间不变力，NNES $\rho_t = \rho$ 是时间不变的，并且尽管处于非平衡状态，仍保留类似于KMS态的解析性质。
• 推导出线性响应公式：$\frac{d}{d\lambda}\rho_t^\lambda(A)\big|_{\lambda=0} = i\int_{-\infty}^t d\tau\, \rho_t([\alpha(t,\tau)\delta h(\tau), A])$，对$A \in (\alpha^t)^{-1}\mathcal{E}$成立，且在远离平衡时依然有效。
• 高阶响应导数表示为嵌套换向器的时间有序积分：$\frac{1}{n!}\frac{d^n}{d\lambda^n}\rho^\lambda(A)\big|_{\lambda=0} = i^n \int_{0}^{\infty} d\sigma_1 \cdots \int_{0}^{\infty} d\sigma_n \, \rho([k, \alpha^{-\sigma_1}[k, \cdots [k, \alpha^{-\sigma_n} A]\cdots]])$。
• 在$\int_{-\infty}^0 d\tau\, ||[k(\tau), \alpha^\lambda(\tau,t)A]||$一致收敛的条件下，$\rho_t^\lambda(A)$在$\lambda=0$处的可微性得到保证，从而确保响应在$\lambda=0$邻域内的解析性。
• 该框架具有公理化特征：尽管关键技术假设（换向器积分收敛）在物理上是自然的，但目前仅在少数特定量子自旋系统中被严格证明。