[论文解读] Naturally reductive Riemannian manifolds

Silvio Reggiani|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2009

Advanced Differential Geometry Research被引用 3

一句话总结

本文通过几何方法确定了法齐齐次空间和自然约化黎曼流形（相对于典范联络）的仿射变换群的连通分支，完成了在自然约化情形下等距群分类的完整工作。此外，本文证明了法齐齐次空间中全同伦群的不动点集为环面，并将这些结果应用于证明齐次纤维丛的仿射群为李群，从而验证了Guijarro与Walschap的结果。

ABSTRACT

Abstract. A very important class of homogeneous Riemannian manifolds are the so-called normal homogeneous spaces, which have associated a canonical connection. In this work we obtain geometrically the (connected component of the) group of affine transformations with respect to the canonical connection for a normal homogeneous space. The naturally reductive case is also treated. This completes the geometric calculation of the isometry group of naturally reductive spaces. In addition, we proof that for normal homogeneous spaces the set of fixed points of the full isotropy is a torus. As an application of our results it follows that the holonomy group of a homogeneous fibration is contained in the group of (canonically) affine transformations of the fibers, in particular this holonomy group is a Lie group (this is a result of Guijarro and Walschap). 1.

研究动机与目标

• 通过典范联络，几何地计算法齐齐次空间中仿射变换群的连通分支。
• 将此计算方法拓展至自然约化情形，从而完整地几何确定此类空间中等距群的结构。
• 证明法齐齐次空间中全同伦群的不动点集必为环面。
• 将所得结果应用于证明齐次纤维丛的仿射群为李群，从而验证Guijarro与Walschap的结果。

提出的方法

• 利用与法齐齐次空间相关的典范联络，分析保持该联络的仿射变换。
• 应用几何技巧，计算自然约化情形下仿射变换群的单位分支。
• 分析同伦表示及其不动点集，证明其在法齐齐次空间中构成环面。
• 利用齐次纤维丛的结构及典范联络的性质，约束仿射群的结构。
• 运用表示论与李群论工具，推导出仿射群为李群。
• 将齐次纤维丛中纤维的仿射结构与仿射群的李群性质相联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 相对于典范联络，法齐齐次空间中仿射变换群的连通分支具有何种结构？
• RQ2 如何通过典范联络几何地确定自然约化黎曼流形的等距群？
• RQ3 法齐齐次空间中全同伦群的不动点集是否必为环面？
• RQ4 齐次纤维丛的仿射群是否必为李群？若是，原因为何？

主要发现

• 通过典范联络，几何地计算了法齐齐次空间中仿射变换群的连通分支。
• 自然约化黎曼流形的等距群通过几何方法被完全确定，完成了先前的研究工作。
• 证明了法齐齐次空间中全同伦群的不动点集为环面。
• 证明了齐次纤维丛的仿射群为李群，从而验证了Guijarro与Walschap的结果。
• 典范联络在约束齐次纤维丛中仿射群与仿射群结构方面起到了核心作用。