[论文解读] Navier-Stokes-alpha model: LES equations with nonlinear dispersion

J. Andrzej Domaradzki, Darryl D. Holm|ArXiv.org|Mar 23, 2001

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 23被引用 15

一句话总结

本文將Navier-Stokes-alpha（NS-$\alpha$）模型引入為具有非線性色散的大渦模擬（LES）框架，顯示其對應於一類廣義LES相似性模型。研究表明，對這些模型應用近似逆運算可恢復Kelvin環流定理，並揭示NS-$\alpha$在抑制小尺度自相互作用的同時，仍保留大尺度非局部捲吸效應，從而提升計算效率而不損失關鍵物理不變性。

ABSTRACT

We present a framework for discussing LES equations with nonlinear dispersion. In this framework, we discuss the properties of the nonlinearly dispersive Navier-Stokes-alpha model of incompressible fluid turbulence --- also called the viscous Camassa-Holm equations and the LANS equations in the literature --- in comparison with the corresponding properties of large eddy simulation (LES) equations obtained via the approximate-inverse approach. In this comparison, we identify the spatially filtered NS-alpha equations with a class of generalized LES similarity models. Applying a certain approximate inverse to this class of LES models restores the Kelvin circulation theorem for the defiltered velocity and shows that the NS-alpha model describes the dynamics of the defiltered velocity for this class of generalized LES similarity models. We also show that the subgrid scale forces in the NS-alpha model transform covariantly under Galilean transformations and under a change to a uniformly rotating reference frame. Finally, we discuss in the spectral formulation how the NS-alpha model retains the local interactions among the large scales, retains the nonlocal sweeping effects of large scales on small scales, yet attenuates the local interactions of the small scales amongst themselves.

研究动机与目标

• 建立NS-$\alpha$模型與具有非線性色散的大渦模擬（LES）方程之間的理論框架。
• 透過濾波與反卷積，釐清NS-$\alpha$模型與廣義LES相似性模型的關聯。
• 示範當對NS-$\alpha$模型應用近似逆運算時，其可恢復Kelvin環流定理。
• 分析NS-$\alpha$模型在三元交互作用與尺度分離方面的譜行為。
• 量化NS-$\alpha$模型相較於Navier-Stokes方程在自由度與計算成本上的降低程度。

提出的方法

• 透過對Kelvin環流定理進行濾波，推導出NS-$\alpha$模型，引入依賴於長度尺度$\alpha$的非線性色散項。
• 將該模型詮釋為具備額外基於微分的亞格子應力項之廣義LES相似性模型。
• 對模型應用近似逆反卷積程序，以恢復反卷積速度場的Kelvin環流定理。
• 利用傅里葉變換進行譜分析，檢視波數之間的三元交互作用，對高波數模式施加衰減因子$1/(1 + \alpha^2 k^2)$。
• 從局部與非局部三元交互作用角度分析模型行為，區分渦度黏性型與捲吸型效應。
• 利用$N_{\text{dof}}^{\alpha} \simeq (L/\alpha) \text{Re}^{3/2}$與$D_{\text{frac}} \leq (N_{\text{dof}}^{\alpha})^{3/2}$推導自由度與吸引子維數的解析估計。

实验结果

研究问题

• RQ1 NS-$\alpha$模型在結構與物理一致性方面，與標準LES相似性模型相比有何差異？
• RQ2 是否可透過對廣義LES模型類別應用近似逆運算，恢復NS-$\alpha$模型的Kelvin環流定理？
• RQ3 NS-$\alpha$模型在大尺度與小尺度之間的三元交互作用方面具有何種譜行為？
• RQ4 NS-$\alpha$模型如何抑制小尺度自相互作用，同時保留大尺度捲吸效應？
• RQ5 與Navier-Stokes方程相比，NS-$\alpha$模型在自由度與計算成本上之定量降低程度為何？

主要发现

• NS-$\alpha$模型對應於一類具備額外基於微分的亞格子應力項之廣義LES相似性模型。
• 對此類模型應用近似逆運算，可恢復反卷積速度場的Kelvin環流定理，確認NS-$\alpha$模型為其底層動力系統。
• NS-$\alpha$模型保留下列非局部捲吸效應：其中一個相互作用模式的波數滿足$k < 1/\alpha$，另一個為$k \sim O(k)$。
• 該模型抑制小尺度之間的局部三元交互作用（$k > 1/\alpha$）與雙重波數均大於$1/\alpha$的非局部渦度黏性型交互作用，同時保留大尺度影響。
• NS-$\alpha$模型的自由度數量為$N_{\text{dof}}^{\alpha} \simeq (L/\alpha) \text{Re}^{3/2}$，顯著小於Navier-Stokes方程的自由度數量$N_{\text{dof}}^{\text{NS}} \simeq \text{Re}^{9/4}$，進而導致在高雷諾數下計算速度提升約$(\alpha/L)^{4/3} \text{Re}$。
• 該模型在伽利略變換與均勻旋轉參考系變換下，其亞格子力表現出協變性，保持物理一致性。