[论文解读] Navier-Stokes and stochastic Navier-Stokes equations via Lagrange multipliers

Ana Bela Cruzeiro|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2018

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文通过在环面上应用随机变分原理，推导出确定性和随机的纳维-斯托克斯方程，其中压力作为拉格朗日乘子以强制满足不可压缩性。通过将流体质点轨迹建模为具有漂移 $ v $ 的随机扩散过程，纳维-斯托克斯方程成为包含动能和约束项的动作泛函的临界点，而守恒量则通过一种随机诺特定理被识别出来。

ABSTRACT

We show that the Navier-Stokes as well as a random perturbation of this equation can be derived from a stochastic variational principle where the pressure is introduced as a Lagrange multiplier. Moreover we describe how to obtain corresponding constants of the motion.

研究动机与目标

• 在 $ d $ 维环面上建立确定性纳维-斯托克斯方程的随机变分原理。
• 将粘性项 $ \nu\Delta v $ 解释为源自底层的随机扩散过程，而非人为引入的耗散项。
• 作为随机动作泛函临界点，推导出相应的随机纳维-斯托克斯方程。
• 通过引入空间平均对称性的广义诺特定理，识别随机设定下的守恒量。
• 通过将阿诺德和艾本-马尔施登的方法推广至耗散系统，统一几何流体动力学与随机过程。

提出的方法

• 将纳维-斯托克斯方程表述为动作泛函 $ S(g,p) = S^1(g,p) + S^2(g,p) $ 的临界点，其中 $ g_t(x) $ 是具有漂移 $ v $ 和扩散系数 $ \sqrt{2\nu} $ 的随机扩散过程。
• 通过项 $ \int p(t,g_t(x))(\det \nabla g_t(x) - 1) \, dtdx $，将压力 $ p $ 作为拉格朗日乘子，强制实现不可压缩性约束 $ \det \nabla g_t(x) = 1 $。
• 对路径 $ g_t $ 和压力场 $ p $ 变分动作泛函，导出欧拉-拉格朗日方程，从而得到纳维-斯托克斯偏微分方程。
• 使用广义导数 $ D_t $ 定义随机过程的漂移，其中 $ D_t g_t(x) = v(t,g_t(x)) $，并应用伊藤公式计算 $ D_t v(t,g_t(x)) $。
• 通过考虑包含维纳过程 $ W_t $ 的随机积分的随机动作泛函 $ \tilde{S}(\xi,p) $，推导出随机纳维-斯托克斯方程，得到类似伊tô-Stratonovich型的随机微分方程。
• 通过在空间上积分对称性变分，应用随机诺特定理，表明在随机微分算子 $ \mathcal{L}_t = \partial_t + (v\cdot\nabla) + \nu\Delta $ 作用下，守恒量为鞅。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过压力作为拉格朗日乘子的随机变分原理推导出确定性纳维-斯托克斯方程？
• RQ2 粘性项 $ \nu\Delta v $ 如何从随机扩散过程自然产生，而非作为现象学假设？
• RQ3 包含伊藤积分和Stratonovich积分的随机动作泛函所导出的随机纳维-斯托克斯方程的形式为何？
• RQ4 在随机设定下如何识别守恒量？它们与经典诺特不变量有何不同？
• RQ5 空间平均对称性在推导随机流体流动守恒量中起什么作用？

主要发现

• 纳维-斯托克斯方程被推导为一个随机动作泛函的临界点，其中压力作为拉格朗日乘子，强制实现随机流 $ g_t(x) $ 的不可压缩性。
• 粘性项 $ \nu\Delta v $ 自然地从随机扩散过程 $ dg_t(x) = \sqrt{2\nu} dW_t + v(t,g_t(x)) dt $ 的伊藤校正项中产生，无需事先假设耗散。
• 推导出的随机纳维-斯托克斯方程为 $ dv + (v\cdot\nabla)v \, dt = \sqrt{2\nu} \nabla v \circ dW_t \, dt - \nabla p \, dt $，其中 $ v $ 为散度为零的向量场，以Stratonovich形式表示。
• 通过随机诺特定理识别守恒量：若拉格朗日量在对称性 $ \eta $ 下不变，则 $ \int \mathcal{L}_t (v\eta - G) \, dx = 0 $，其中 $ \mathcal{L}_t $ 为随机微分算子。
• 该结果通过在空间上积分推广了经典诺特定理，表明守恒量在随机演化下为鞅。
• 该方法可通过文献[2]中的构造推广至一般黎曼流形，表明其在平坦环面之外也具有更广泛的几何适用性。