[论文解读] Navier-Stokes Equation on the Rectangle

Sérgio S. Rodrigues|ArXiv.org|Apr 15, 2005

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 13被引用 3

一句话总结

该论文在矩形区域上建立了无滑移和切向边界条件下二维不可压缩Navier-Stokes方程的L2-近似能控性，采用作用于低频模态的有限维控制。证明了弱解和强解的存在性、唯一性及对初值的连续依赖性，并表明通过在嵌套的有限维子空间中迭代逼近控制，可在足够长的时间范围内，利用谱方法和平均化技术抑制高频振荡，将系统状态任意逼近目标状态（L2范数意义下）。

ABSTRACT

We study controllability issues for the Navier-Stokes Equation on a two dimensional rectangle with so-called Lions boundary conditions. Rewriting the Equation using a basis of harmonic functions we arrive to an infinite-dimensional system of ODEs. Methods of Geometric/Lie Algebraic Control Theory are used to prove controllability by means of low modes forcing of finite-dimensional Galerkin approximations of that system. Proving the continuity of the ``control $\mapsto$ solution'' map in the so-called relaxation metric we use it to prove both solid controllability on observed component and $\mathbf L^2$-approximate controllability of the Equation (full system) by low modes forcing.

研究动机与目标

• 在具有无滑移和切向边界条件的矩形区域上，建立二维Navier-Stokes方程弱解与强解的存在性、唯一性及其对初值的连续依赖性。
• 研究通过作用于低频模态的有限维控制，对Navier-Stokes系统Galerkin逼近的能控性。
• 通过证明任意目标状态x1 ∈ H 可在有限维子空间上支持的控制作用下，以任意精度逼近，从而证明完整Navier-Stokes系统的L2-近似能控性。
• 提出一种基于FCE（因子分解-凸化-提取）方法与反向归纳法的构造性过程，实现通过低频控制逐步逼近高频控制，且在一系列嵌套子空间中完成。

提出的方法

• 在矩形区域上形式化具有混合边界条件（无法向速度、切向速度）的Navier-Stokes系统，使用空间H（无散L2向量场）和V（满足边界条件的无散H1向量场）进行描述。
• 应用泛函分析工具：Poincaré不等式、等价范数，以及Stokes算子特征函数的傅里叶级数展开，以刻画空间H和V。
• 引入算子A（Stokes算子）与B（非线性三线性型），将Navier-Stokes方程的弱形式表示为H内积形式。
• 在H的有限维子空间中采用Galerkin逼近，将PDE转化为ODE系统，并证明这些逼近解的存在性与唯一性。
• 采用FCE过程——因子分解、凸化、提取——在低维子空间中构造控制，使其近似复现高频控制的效果。
• 应用平均化技术，并通过cos(2wt)积分估计快速振荡项，以控制误差在时间区间内的传播，表明高频误差随w−1衰减。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有无滑移和切向边界条件的矩形区域上，二维Navier-Stokes方程是否具有对初值连续依赖的唯一弱解与强解？
• RQ2 是否仅通过作用于有限个低频模态的控制，即可实现完整Navier-Stokes系统的近似能控性？
• RQ3 如何系统性地构造低维子空间中的控制，使其能模拟高频控制的效果，并确保收敛至目标状态？
• RQ4 高频振荡在控制逼近中起何作用？其影响能否被定量控制？

主要发现

• 在矩形区域上，Navier-Stokes系统存在唯一弱解与强解，且对初值连续依赖，该结论通过H与V空间中的能量估计与Poincaré型不等式建立。
• 若控制集能张成由向量场生成的完整李代数（即满足全李秩条件），则Galerkin逼近系统在有限维子空间中是精确能控的。
• 通过用低频控制逼近高频控制所引入的误差随w−1衰减，其中w为振荡频率，从而支持在嵌套子空间中迭代构造控制。
• 通过在子空间RκM, RκM−1, ..., Rκ1中依次模仿控制，系统可被驱动至任意目标状态x1 ∈ H的ε邻域内，总误差由几何级数在ε内有界。
• 对任意T > 0，系统的可达集在H中稠密，从而证明L2-近似能控性：系统可在L2范数意义下被驱动至任意目标状态的任意接近程度。
• 控制构造具有鲁棒性：即使T过短无法直接控制，也可先施加任意控制使系统到达新初态，再利用更长的时间窗口T1实现期望的逼近。