[论文解读] Navier-Stokes Equations for Low-Temperature One-Dimensional Fluids

Andrew Urichuk, Stefano Scopa+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2023

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 100被引用 4

一句话总结

本文通过取广义流体力学（GHD）的低温极限，推导出低温一维量子流体的普适纳维-斯托克斯流体描述。结果表明，动力粘度与温度成正比，且可普遍用Luttinger液体参数$K$和压缩率表示，即使在零温下也具有有限粘度，从而实现对间断的正则化，并验证了无能隙1D系统中粘性流体力学的有效性。

ABSTRACT

We consider one-dimensional interacting quantum fluids, such as the Lieb-Liniger gas. By computing the low-temperature limit of its (generalised) hydrodynamics we show how in this limit the gas is well described by a conventional viscous (Navier-Stokes) hydrodynamics for density, fluid velocity and the local temperature, and the other generalised temperatures in the case of integrable gases. The dynamic viscosity is proportional to temperature and can be expressed in a universal form only in terms of the emergent Luttinger Liquid parameter $K$ and its density. We show that the heating factor is finite even in the zero temperature limit, which implies that viscous contribution remains relevant also at zero temperatures. Moreover, we find that in the semi-classical limit of small couplings, kinematic viscosity diverges, reconciling with previous observations of Kardar-Parisi-Zhang fluctuations in mean-field quantum fluids.

研究动机与目标

• 推导一维相互作用量子流体（如Lieb-Liniger气体）的低温流体动力学描述。
• 确定粘性（纳维-斯托克斯）流体力学是否在低温极限下从广义流体力学（GHD）中涌现。
• 建立以Luttinger液体参数$K$和压缩率表示的动力粘度的普适表达式。
• 研究粘度和热化行为在零温极限下的特性，特别是关于间断正则化的问题。
• 调和低温极限下运动粘度发散与平均场量子流体中Kardar-Parisi-Zhang（KPZ）涨落之间的矛盾。

提出的方法

• 对具有排斥相互作用的Lieb-Liniger模型取广义流体力学（GHD）的低温极限。
• 通过积分快速度分布并从扩散核的无限耦合极限中提取扩散修正项，计算有效粘度。
• 利用Luttinger液体参数$K$和压缩率，以普适形式表达动力粘度，独立于微观细节。
• 分析在$c \to \rho$极限和$T \to 0$极限下粘度的行为，表明即使在零温下粘度仍保持有限。
• 在有限温度和零温极限下对费米权重函数施加空间导数，证明低温极限与空间导数的可交换性。
• 通过涉及$\theta$、$\theta^2/2$和扩散核的快速度变量积分，推导流体动力学方程中的粘性修正项。

Figure 1: Evolution of the excess density $\delta\rho=\rho-\rho_{\infty}$ for an initial bump obtained as the ground state density of ( 1 ) with interaction $c=1$ and Gaussian potential $V(x)=-\mu-A\exp(-x^{2}/\sigma^{2})$ , released at $t>0$ ; here $\sigma=1$ , $A$ and $\mu$ are set such that the b

实验结果

研究问题

• RQ1 对于一维量子流体，粘性流体力学是否在低温极限下从广义流体力学（GHD）中涌现？
• RQ2 低温一维量子流体中动力粘度的普适形式是什么？其与Luttinger液体参数$K$的关系如何？
• RQ3 在零温下粘性贡献是否有限？它是否能在缺乏可积性的情况下实现对流体间断的正则化？
• RQ4 在半经典极限下运动粘度的行为如何？它是否与KPZ型涨落相容？
• RQ5 低温极限能否在GHD中一致地应用于流体场的空间导数？

主要发现

• 动力粘度与温度成正比，且可普适表示为$\mu(\rho,T) = \frac{4T}{\pi c^2}\rho$，仅依赖于$K$和压缩率。
• 即使在零温极限下粘度仍保持有限，表明粘性效应是非微扰的，对间断正则化至关重要。
• 低温极限与空间导数可交换，确保了流体描述的一致性。
• 在半经典极限（$c \gg 1$）下，运动粘度发散，与平均场量子流体中KPZ型涨落的先前观察结果一致。
• 从GHD导出的粘性流体动力学方程能完全正则化原本在欧拉流体力学中会形成的间断，使粘性CHD成为低温无能隙系统有效描述。
• 推导结果证实，纳维-斯托克斯方程作为低温一维流体的正确流体动力学描述得以确立，其粘度源于低温区量子多体效应。