[论文解读] Navier-Stokes Hamiltonian for the Similarity Renormalization Group

Billy D. Jones|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2014

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文从第一原理推导了可压缩粘性流体的纳维-斯托克斯哈密顿量，采用六种标量势作为动力学坐标，并引入非完整熵约束。关键贡献是构建了一个具耗散规范泊松括号的一致哈密顿框架，使相似性重整化群（SRG）可应用于湍流，通过哈密顿量的流方程和粘性流体的封闭形式伽利略代数实现。

ABSTRACT

The Navier-Stokes Hamiltonian is derived from first principles. Its Hamilton equations are shown to be equivalent to the continuity, Navier-Stokes, and energy conservation equations of a compressible viscous fluid. The derivations of the Euler and Navier-Stokes Hamiltonians are compared, with the former having identical dynamics to the Euler equation with the viscosity terms of the Navier-Stokes equation dropped from the beginning. The two Hamiltonians have the same number of degrees of freedom in three spatial and one temporal dimension: six independent scalar potentials, but their dynamical fields are necessarily different due to a theory with dissipation not mapping smoothly onto one without. The dynamical coordinate field of a dissipative fluid is a vector field that stores the initial position of all of its fluid particles. Thus these appear to be natural coordinates for studying arbitrary separations of fluid particles over time. The classical similarity renormalization group is introduced and the first steps are carried out deriving a flow equation for the Navier-Stokes Hamiltonian. Finally, the symmetries of a nonrelativistic viscous fluid are discussed through its galilean algebra with dissipative canonical Poisson brackets.

研究动机与目标

• 开发一个可压缩粘性流体的哈密顿场论框架，一致地包含耗散效应。
• 使用熵的非完整约束，从第一原理推导纳维-斯托克斯哈密顿量。
• 建立与能量和动量守恒相容的耗散规范泊松括号结构。
• 为将相似性重整化群（SRG）应用于流体动力学与湍流奠定基础。
• 通过其耗散动力学的伽利略代数分析非相对论性粘性流体的对称性。

提出的方法

• 使用变分原理和熵的非完整约束，从粘性流体的拉格朗日量推导纳维-斯托克斯哈密顿量。
• 引入六个独立的标量势作为动力学坐标，通过从初始粒子位置到当前位置映射的雅可比行列式编码速度场。
• 使用共轭正则动量构造哈密顿量，并推导出等价于连续性方程、纳维-斯托克斯方程和能量守恒方程的哈密顿方程。
• 采用泛函导数方法建立耗散规范泊松括号，尊重非完整熵约束。
• 将经典相似性重整化群（SRG）应用于推导纳维-斯托克斯哈密顿量的流方程，实现流体动力学的逐尺度积分。
• 通过计算生成元（质量、动量、角动量、速度变换）与哈密顿量的泊松括号验证伽利略代数，确认在耗散动力学下守恒律成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用第一原理，将纳维-斯托克斯方程推导为粘性流体的哈密顿运动方程？
• RQ2 如何在具有规范泊松括号的哈密顿场论框架中一致地引入耗散？
• RQ3 当以初始粒子位置表示时，粘性流体的动力学自由度结构是什么？
• RQ4 相似性重整化群（SRG）框架如何应用于纳维-斯托克斯哈密顿量以研究湍流？
• RQ5 非相对论性粘性流体的对称性是什么？它们在耗散泊松括号结构下是否封闭？

主要发现

• 通过熵的非完整约束从第一原理推导出纳维-斯托克斯哈密顿量，确保其与标准连续性方程、动量方程和能量方程等价。
• 动力学坐标为六个编码初始粒子位置的标量势，构成随时间追踪流体质点分离的自然基底。
• 哈密顿方程精确重现纳维-斯托克斯动力学，耗散规范泊松括号结构保持能量和动量守恒。
• 在经典相似性重整化群框架内推导出纳维-斯托克斯哈密顿量的流方程，实现流体动力学的逐尺度分析。
• 伽利略代数在耗散泊松括号下封闭，中心质量与动量等生成元的时间导数对应于中心质量自由运动等物理对称性。
• 中心质量运动被证明遵循自由粒子动力学：$\mathbf{R}_{cm} = \mathbf{R}_{cm}(0) + \mathbf{P}t/M$，直接由哈密顿量和泊松括号结构导出。