[论文解读] NC Algorithms for Weighted Planar Perfect Matching and Related Problems

Piotr Sankowski|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 31被引用 2

一句话总结

本文首次提出了在边权多项式有界条件下的平面图中最小权完美匹配、最大二分匹配、最小f-因子以及最小费用最大流的NC算法。该工作提出了一套新颖的组合框架，利用代数子程序计算最小完美匹配权值，通过保持平面性的约化方法与对偶构造技术，实现高效的并行计算。

ABSTRACT

Consider a planar graph G=(V,E) with polynomially bounded edge weight function w:E -> [0, poly(n)]. The main results of this paper are NC algorithms for finding minimum weight perfect matching in G. In order to solve this problems we develop a new relatively simple but versatile framework that is combinatorial in spirit. It handles the combinatorial structure of matchings directly and needs to only know weights of appropriately defined matchings from algebraic subroutines. Moreover, using novel planarity preserving reductions, we show how to find: maximum weight matching in G when G is bipartite; maximum multiple-source multiple-sink flow in G where c:E -> [1, poly(n)] is a polynomially bounded edge capacity function; minimum weight f-factor in G where f:V -> [1, poly(n)]; min-cost flow in G where c:E -> [1, poly(n)] is a polynomially bounded edge capacity function and b:V -> [1, poly(n)] is a polynomially bounded vertex demand function. There have been no known NC algorithms for these problems previously.

研究动机与目标

• 为多项式有界边权的平面图中的最小权完美匹配问题，提出首个NC算法。
• 将该框架扩展至解决平面图中的最大基数与最大权二分匹配问题。
• 为f-因子问题提出保持平面性的约化方法，从而实现平面图中最小f-因子的NC计算。
• 解决平面图中具有多项式有界容量与需求的最小费用最大流问题这一长期悬而未决的开放问题。
• 通过保持图大小的约化方法，建立非二分完美匹配与最大二分匹配之间的联系。

提出的方法

• 设计一种组合框架，利用平衡对偶的概念构造对偶解，实现唯一对偶构造。
• 利用Kasteleyn的Pfaffian定向与代数技术，计算平面图中最小完美匹配的权值。
• 引入一种保持平面性的顶点分裂装置（˜Gd,f），将f-因子问题约化为平面图中的完美匹配问题。
• 通过复制边并添加权值为零的自环，构造一个多重图G′，将最大二分匹配问题约化为2-因子计算问题。
• 对偶数长度环与复制边应用并行边移除规则，从2-因子中提取最大匹配。
• 通过权值取反（w′(e) = −w(e) + max w(f)）将最大f-因子问题转化为最小f-因子问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管缺乏从一般匹配到平面匹配的保持平面性的约化，平面图中的最小权完美匹配是否可在NC中求解？
• RQ2 是否存在一种方法，可在保持平面性与图大小的前提下，将平面图中的最大二分匹配问题约化为非二分完美匹配问题？
• RQ3 能否通过保持平面性的约化方法，在平面图中实现f-因子问题的NC求解？
• RQ4 该框架是否可扩展至具有多项式有界容量与需求的平面图中的最小费用最大流问题？
• RQ5 所提出的方法能否在平面图的最大匹配问题中实现优于O(n)的时间复杂度？

主要发现

• 本文首次提出平面图中多项式有界边权的最小权完美匹配的NC算法。
• 通过保持图大小的约化方法将非二分完美匹配问题转化为最大基数与最大权二分匹配问题，首次实现了平面图中最大基数与最大权二分匹配的NC算法。
• 开发了f-因子问题的保持平面性约化方法，实现了平面图中最小f-因子的NC计算。
• 本文通过提供首个NC算法，解决了具有多项式有界容量与需求的平面图中最小费用最大流问题这一长期悬而未决的开放问题。
• 该框架通过扩展最小费用最大流结果，支持平面图中的最大多源多汇流问题。
• 顶点分裂后的图具有O(n³)个顶点，但通过度数缩减至3，图的规模变为O(n)，保持了计算效率。