[论文解读] NC Geometry and Discrete Torsion Fractional Branes:I

El Hassan Saidi|ArXiv.org|Feb 17, 2002

Advanced Differential Geometry Research参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文利用半群代数与模糊环面，构建了具有离散扭量的卡拉比-丘轨道的非交换（NC）几何框架。结果表明，NC流形是具有与卡拉比-丘荷和离散扭量矩阵相关的参数的(2n+4)维模糊环面的形变，并构造了在奇点处退化为不连通环路的奎弗图，从而实现了对NC五次曲面及一般n维轨道中分数D膜及其无质量谱的显式分类。

ABSTRACT

Considering the complex n-dimension Calabi-Yau homogeneous hyper-surfaces ${\cal H}_{n}$ and using algebraic geometry methods, we develop the crossed product algebra method, introduced by Berenstein et Leigh in hep-th/0105229, and build the non commutative (NC) geometries for orbifolds ${\cal O}={\cal H}_{n}/{\bf Z}_{n+2}^{n}$ with a discrete torsion matrix $t_{ab}=exp[{\frac{i2π}{n+2}}{(η_{ab}-η_{ba})}]$, $η_{ab} \in SL(n,{\bf Z})$. We show that the NC manifolds ${\cal O}^{(nc)}$ are given by the algebra of functions on the real $(2n+4)$ Fuzzy torus ${\cal T}^{2(n+2)}_{β_{ij}}$ with deformation parameters $β_{ij}=exp{\frac{i2π}{n+2}}{[(η^{-1}_{ab}-η^{-1}_{ba})} q_{i}^{a} q_{j}^{b}]$, $q_{i}^{a}$'s being Calabi-Yau charges of ${\bf Z}_{n+2}^{n}$. We develop graph rules to represent ${\cal O}^{(nc)}$ by quiver diagrams which become completely reducible at singularities. Generic points in these NC geometries are be represented by polygons with $(n+2)$ vertices linked by $(n+2)$ edges while singular ones are given by $(n+2)$ non connected loops. We study the various singular spaces of quintic orbifolds and analyze the varieties of fractional $D$ branes at singularities as well as the spectrum of massless fields. Explicit solutions for the NC quintic ${\cal Q}^{(nc)}$ are derived with details and general results for complex $n$ dimension orbifolds with discrete torsion are presented.

研究动机与目标

• 构建卡拉比-丘轨道 ${\cal O} = {\cal H}_n / \mathbf{Z}_{n+2}^n$ 的非交换（NC）推广，其具有离散扭量。
• 通过将轨道的中心视为非交换代数的实现，解决这些轨道中的几何奇点。
• 利用NC几何对奇点处的分数D膜进行分类，并计算其无质量场谱。
• 将NC构造从五次曲面情形推广至任意复维数$n$的卡拉比-丘超曲面。
• 通过交叉积代数与奎弗图，为具有离散扭量的NC流形提供统一框架。

提出的方法

• 采用Berenstein等人（hep-th/0105229）提出的交叉积代数方法，从交换轨道构建NC几何。
• 将NC流形 ${\cal O}^{(nc)}$ 构造为实$(2n+4)$维模糊环面 ${\cal T}^{2(n+2)}_{\beta_{ij}}$ 上的函数代数，其形变参数为 $\beta_{ij} = \exp\left[\frac{i2\pi}{n+2} \left( (\eta^{-1}_{ab} - \eta^{-1}_{ba}) q_i^a q_j^b \right) \right]$。
• 应用莫里塔等价与CP代数技术，将NC代数与轨道的群作用及固定点结构关联。
• 推导出表示NC几何的奎弗图，一般点为$(n+2)$-顶点多边形，奇点为$(n+2)$个不连通环路。
• 利用全纯矩阵坐标图册与过渡函数，定义NC复流形结构。
• 利用 $\mathbf{Z}_{n+2}^n$ 群作用的卡拉比-丘荷 $q_i^a$ 编码离散扭量与形变参数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地利用代数几何方法为具有离散扭量的卡拉比-丘轨道构建非交换几何？
• RQ2 从具有离散扭量的轨道 ${\cal H}_n / \mathbf{Z}_{n+2}^n$ 产生的NC流形 ${\cal O}^{(nc)}$ 的精确代数结构是什么？
• RQ3 奎弗图如何编码NC轨道的几何与奇点结构？在不动点处其退化行为如何？
• RQ4 NC五次曲面及更高维情形下，奇点处分数D膜的分类及其谱为何？
• RQ5 分数膜上的无质量模态如何与离散扭量群 $\mathbf{Z}_{n+2}^n$ 的表示理论相关联？

主要发现

• NC流形 ${\cal O}^{(nc)}$ 被实现为具有依赖于离散扭量与卡拉比-丘荷的形变参数 $\beta_{ij}$ 的$(2n+4)$维模糊环面 ${\cal T}^{2(n+2)}_{\beta_{ij}}$ 上的函数代数。
• 对于NC五次曲面（$n=4$），代数由生成元 $Z_i$ 之间的特定非交换关系定义，结构常数 $\alpha, \beta, \gamma$ 为五次单位根。
• NC几何中的奇点由奎弗图中 $n+2$ 个不连通环路表示，对应于轨道群作用的不动点。
• ${\cal H}_n$ 可以以 $\frac{n(n-1)}{2}$ 种不同方式纤维化为 ${\mathbf{B}}_{ab} \bowtie {\cal S}_{ab}$，每种纤维化产生一类分数 $(p-4)$-膜，含 $d_1 d_2$ 个膜与 $2(d_1 + d_2)$ 个无质量模态。
• 对于 ${\mathbf{Z}}_{n+2}^n$ 中的 $k$ 重对称性，存在 $\frac{n!}{(n-k)!k!}$ 种纤维化，每种产生 $\prod_{j=1}^k d_j$ 个分数 $(p-2k)$-膜，含 $\sum_{i=1}^k d_i$ 个无质量模态。
• 该构造可推广至所有 $n$-维卡拉比-丘超曲面，对NC五次曲面给出了显式结果，且在 $n=4$ 时与已知的 $K3$ 表面轨道结果一致。