[论文解读] Near-Linear Time Computation of Welzl Orders on Graphs with Linear Neighborhood Complexity

Jan Dreier, Clemens Kuske|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2026

Computational Geometry and Mesh Generation被引用 0

一句话总结

一项随机化的近线性时间算法能够为具线性原始与对偶分裂函数的集合系统计算Welzl序，从而实现有效的邻域覆盖并在合适的图类上加速模型检查。

ABSTRACT

Orders with low crossing number, introduced by Welzl, are a fundamental tool in range searching and computational geometry. Recently, they have found important applications in structural graph theory: set systems with linear shatter functions correspond to graph classes with linear neighborhood complexity. For such systems, Welzl's theorem guarantees the existence of orders with only $\mathcal{O}(\log^2 n)$ crossings. A series of works has progressively improved the runtime for computing such orders, from Chazelle and Welzl's original $\mathcal{O}(|U|^3 |\mathcal{F}|)$ bound, through Har-Peled's $\mathcal{O}(|U|^2|\mathcal{F}|)$, to the recent sampling-based methods of Csikós and Mustafa. We present a randomized algorithm that computes Welzl orders for set systems with linear primal and dual shatter functions in time $\mathcal{O}(\|S\| \log \|S\|)$, where $\|S\| = |U| + \sum_{X \in \mathcal{F}} |X|$ is the size of the canonical input representation. As an application, we compute compact neighborhood covers in graph classes with (near-)linear neighborhood complexity in time \(\mathcal{O}(n \log n)\) and improve the runtime of first-order model checking on monadically stable graph classes from $\mathcal{O}(n^{5+\varepsilon})$ to $\mathcal{O}(n^{3+\varepsilon})$.

研究动机与目标

• 在来自具有线性邻域复杂度的图的集合系统中， motivating 并利用具有低交叉数的 Welzl 序。
• 提供一个近线性时间的随机化算法来计算具有可证明交叉数保证的 Welzl 序。
• 将 Welzl 序应用于图问题，以在受限图类上实现近线性邻域覆盖与更快的模型检查。

提出的方法

• 将集合系统表示为二分图 (A,B,E)。
• 使用孪生划分通过将顶点替换为代表性的孪生体来压缩 A 和 B。
• 迭代地对 A 的子集进行采样，计算关于 B 的孪生划分，并细化为代表以构建序。
• 保证删除孪生体和近孪生体在交叉数上按受控量增加（引理 2.1 与 2.2）。
• 对 O(log|A|) 次迭代重复，并通过将非代表性顶点重新插入到其代表性顶点旁边来重构最终序。
• 在 O((|A|+|E|) log|A|) 的运行时间下，成功概率至少为 2/3。

(a) Choose a sample $W\subseteq A$ ,

实验结果

研究问题

• RQ1 Welzl 序是否能够在原理和对偶分裂函数线性的一类集合系统中高效求解？
• RQ2 在这类集合系统中，近线性时间可达到的交叉数界限是多少？
• RQ3 该方法能否为具有线性（或近线性）邻域复杂度的图构造紧凑的邻域覆盖提供实用算法？
• RQ4 该方法对单子稳定或相关图类的一阶模型检查有何影响？

主要发现

• 存在一个随机化算法，在时间 O(||S|| log ||S||) 内计算 Welzl 序，其中 ||S|| = |U| + sum_{X in F} |X|。
• 所得到的序的交叉数在集合系统的原始/对偶分裂函数被界定为 c·k 时（线性情形，d=1）不超过 12 c^2 log^2 |U|。
• 对于邻域复杂度 π_G(k) ≤ c·k 的图，算法的时间复杂度为 O((n+m) log n)，输出的总序的交叉数为 O(log^2 n)。
• 这使得在具有线性邻域复杂度的图类中，紧凑邻域覆盖的近线性时间计算成为可能，且重叠度为 O(log^2 n)。
• 推论：对于单子稳定的图类，利用改进的 Welzl 序相关程序可以在 O(n^{3+ε}) 时间内完成一阶模型检查。
• 该方法在更高的VC维情形下也可推广，得到的交叉数为 O(|U|^{1-1/d^2} log^2 |U|)，且仍维持 O(||S|| log ||S||) 的运行时（常数依赖于 c 与 d）。

(b) partition $B$ with respect to $W$ ,