[论文解读] Near Optimal Adjacency Labeling Schemes for Power-Law Graphs

Alstrup, Stephen, Dahlgaard, Søren+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文提出了一种针对无权图的近似最优D-保持距离标签方案，标签大小为O(n/D · log²D)，优于先前的界，并实现了稀疏图的次线性大小标签。通过将问题约化为有界度图并结合D-保持标签框架，作者还首次实现了稀疏图的o(n)大小标签方案，以及针对r ≥ 2的改进r-加性标签方案，其大小为O(n/r · polylog(r log n)/log n)。

ABSTRACT

A distance labeling scheme labels the n nodes of a graph with binary strings such that, given the labels of any two nodes, one can determine the distance in the graph between the two nodes by looking only at the labels. A D-preserving distance labeling scheme only returns precise distances between pairs of nodes that are at distance at least D from each other. In this paper we consider distance labeling schemes for the classical case of unweighted and undirected graphs. We present a O(n/D * log^2(D)) bit D-preserving distance labeling scheme, improving the previous bound by Bollobás et al. [SIAM J. Discrete Math. 2005]. We also give an almost matching lower bound of Omega(n/D). With our D-preserving distance labeling scheme as a building block, we additionally achieve the following results: 1. We present the first distance labeling scheme of size o(n) for sparse graphs (and hence bounded degree graphs). This addresses an open problem by Gavoille et. al. [J. Algo. 2004], hereby separating the complexity from distance labeling in general graphs which require Omega(n) bits, Moon [Proc. of Glasgow Math. Association 1965]. 2. For approximate r-additive labeling schemes, that return distances within an additive error of r we show a scheme of size O(n/r * polylog(r*log(n))/log(n)) for r >= 2. This improves on the current best bound of O(n/r) by Alstrup et al. [SODA 2016] for sub-polynomial r, and is a generalization of a result by Gawrychowski et al. [arXiv preprint 2015] who showed this for r=2.

研究动机与目标

• 设计一种针对无权图的D-保持距离标签方案，实现接近最优的标签大小。
• 解决稀疏图与有界度图中实现o(n)标签大小的开放问题。
• 改进r-加性距离标签方案的现状，尤其针对次多项式r的情况。
• 为D-保持标签建立近乎匹配的上下界，证明所提方案的近似最优性。

提出的方法

• 通过引入0权边的节点分裂方法，将问题约化为有界度图，提出一种D-保持距离标签方案。
• 应用定理3中的D-距离保持标签，以确保至少相距D的点对能获得精确距离。
• 通过将高程度节点分解为度数≤ k−2的链，将一般稀疏图约化为有界度图。
• 在Gr的r/2-邻域图中使用最小支配集S，以处理具有有界扩展性的低度节点。
• 将精确的D-保持标签与Gr中低度节点的半径D球内局部距离存储相结合。
• 采用混合策略：对大距离（≥ D）使用精确距离，对小距离使用支配集或局部球进行近似距离计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造出接近Ω(n/D)下界的D-保持距离标签方案，实现更小的标签大小？
• RQ2 是否可能在稀疏图与有界度图中实现o(n)的标签大小，从而解决标签方案中的一个开放问题？
• RQ3 能否在次多项式r的情况下，将r-加性标签方案改进至O(n/r)以下？
• RQ4 所提方案是否在幂律图中实现了接近最优的标签大小？

主要发现

• 本文提出了一种D-保持距离标签方案，其标签大小为O(n/D · log²D)，优于先前的O(n/D · log²n)界。
• 建立了几乎匹配的下界Ω(n/D)，证明了所提方案的近似最优性。
• 该方案首次实现了稀疏图的o(n)大小距离标签，解决了Gavoille等人（2004年）提出的开放问题。
• 实现了改进的r-加性标签方案，大小为O(n/r · polylog(r log n)/log n)，在次多项式r下优于先前的O(n/r)界。
• 通过将高程度节点转换为有界度链并应用D-保持标签方案，实现了稀疏图的次线性标签大小。
• 该框架支持精确与近似距离查询，且具有有界加性误差，通过高效结合多种标签策略实现。