[论文解读] Near-Optimal Lower Bounds on the Threshold Degree and Sign-Rank of AC^0

Alexander A. Sherstov, Pei Wu|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 55被引用 3

一句话总结

本文通过构建显式 AC⁰ 电路，实现了对 AC⁰ 电路阈值度和符号秩的近似最优下界，其阈值度为 Ω(n¹⁻ᵝ)，符号秩为 exp(Ω(n¹⁻ᵝ))，其中 β > 0 任意。该方法基于局部平滑分布与对偶多项式提出了一种新颖的放大技术，显著改进了先前的界，并在所有深度中统一并超越了此前的结果，尤其在深度 4 及以上时效果显著。

ABSTRACT

The communication class UPP^{cc} is a communication analog of the Turing Machine complexity class PP. It is characterized by a matrix-analytic complexity measure called sign-rank (also called dimension complexity), and is essentially the most powerful communication class against which we know how to prove lower bounds. For a communication problem f, let f wedge f denote the function that evaluates f on two disjoint inputs and outputs the AND of the results. We exhibit a communication problem f with UPP^{cc}(f)= O(log n), and UPP^{cc}(f wedge f) = Theta(log^2 n). This is the first result showing that UPP communication complexity can increase by more than a constant factor under intersection. We view this as a first step toward showing that UPP^{cc}, the class of problems with polylogarithmic-cost UPP communication protocols, is not closed under intersection. Our result shows that the function class consisting of intersections of two majorities on n bits has dimension complexity n^{Omega(log n)}. This matches an upper bound of (Klivans, O'Donnell, and Servedio, FOCS 2002), who used it to give a quasipolynomial time algorithm for PAC learning intersections of polylogarithmically many majorities. Hence, fundamentally new techniques will be needed to learn this class of functions in polynomial time.

研究动机与目标

• 解决常数深度电路（AC⁰）可实现的最大阈值度与符号秩这一长期悬而未决的开放问题。
• 改进此前阈值度下界为 Ω(√n) 和符号秩下界为 exp(˜Ω(√n)) 的最优结果。
• 提供一个统一框架，涵盖并严格改进此前关于 AC⁰ 中阈值度、符号秩、偏差、阈值权重与阈值密度的所有研究工作。
• 建立 AC⁰ 电路无界错误通信复杂性的紧致下界。

提出的方法

• 利用偏移乘积分布，为多重奇偶性函数（MP）构造有界对偶多项式。
• 提出一种新颖的输入变换，可在保持符号表示的同时放大阈值度。
• 提出输入分布的局部平滑性条件，以实现受控的质量转移并支持对偶多项式构造。
• 应用硬度放大定理，将低次对偶多项式提升为高次且平滑性更优的多项式。
• 利用 Forster 定理与谱范数界，将平滑的阈值度提升为符号秩的下界。
• 通过受控扇入递归组合 OR 与 AND 门，构建具有所需复杂性特性的显式 AC⁰ 电路。

实验结果

研究问题

• RQ1 常数深度的 AC⁰ 电路可实现的最大阈值度是多少？其随输入规模如何变化？
• RQ2 AC⁰ 电路的最大符号秩是多少？其与通信复杂性的关系如何？
• RQ3 能否系统性地改进并统一 AC⁰ 所有深度下阈值度与符号秩的已有下界？
• RQ4 在 AC⁰ 电路背景下，阈值度、符号秩与偏差之间存在何种关系？
• RQ5 显式构造的 AC⁰ 电路能否实现近似最优的阈值度与符号秩？

主要发现

• 对任意 ǫ > 0，本文构造的 AC⁰ 电路具有 Ω(n¹⁻ᵝ) 的阈值度与 exp(Ω(n¹⁻ᵝ)) 的符号秩，其中 β = ǫ，达到近似最优。
• 该构造在深度 4 及以上时严格优于先前所有界，统一并超越了所有先前结果。
• 证明了深度为 3k 的 AC⁰ 电路的符号秩下界为 exp(Ω(n¹⁻¹ᐟᵏ⁺¹ · (log n)⁻ᵏ⁽ᵏ⁻¹⁾ᐟ²⁽ᵏ⁺¹⁾))，与目前已知最佳下界一致。
• AC⁰ 电路的无界错误通信复杂度下界为 Ω(n¹⁻¹ᐟᵏ⁺¹ · (log n)⁻ᵏ⁽ᵏ⁻¹⁾ᐟ²⁽ᵏ⁺¹⁾)，与符号秩下界一致。
• 结果对 AC⁰ 电路的偏差、阈值权重与阈值密度也给出了近似最优的界。
• 该框架可实现显式、分层结构的 AC⁰ 电路构造，其阈值度与符号秩可被严格证明为极高，从而解决了长期悬而未决的开放问题。