[论文解读] Near-perfect clique-factors in sparse pseudorandom graphs

Jie Han, Yoshiharu Kohayakawa+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2018

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 12被引用 6

一句话总结

该论文证明了在满足特征值界 λ ≤ c·d^{t−1}/n^{t−2} 的稀疏伪随机图中，存在覆盖所有但至多 n^{1−1/(8t⁴)} 个顶点的近乎完美 K_t-因子。通过分数团因子与切尔诺夫不等式结合的随机嵌入方法，证明了在 d-正则 (n,d,λ)-图中存在顶点不相交的 K_t 团，支持了关于伪随机图中三角形-因子的长期猜想。

ABSTRACT

We prove that, for any $t\ge 3$, there exists a constant $c=c(t)>0$ such that any $d$-regular $n$-vertex graph with the second largest eigenvalue in absolute value~$λ$ satisfying $λ\le c d^{t-1}/n^{t-2}$ contains vertex-disjoint copies of $K_t$ covering all but at most $n^{1-1/(8t^4)}$ vertices. This provides further support for the conjecture of Krivelevich, Sudakov and Szábo [\emph{Triangle factors in sparse pseudo-random graphs}, Combinatorica extbf{24} (2004), pp.~403--426] that $(n,d,λ)$-graphs with $n\in 3\mathbb{N}$ and $λ\leq cd^{2}/n$ for a suitably small absolute constant~$c>0$ contain triangle-factors.

研究动机与目标

• 为如下猜想提供有力证据：当 3|n 时，(n,d,λ)-图满足 λ ≤ cd²/n 则存在三角形-因子。
• 将对稀疏伪随机图中团因子的理解从三角形-因子扩展至 t ≥ 3 时的一般 K_t-因子。
• 在 d 与 n 的表达下，建立一个关于 λ 的定量阈值，以保证近乎完美 K_t-因子分解。
• 开发一种方法，利用谱论与概率工具，在伪随机图中构造出大量权重不相交的分数 K_t-因子。
• 弥合现有结果与伪随机图中团因子最优特征值阈值之间的差距。

提出的方法

• 利用扩展混合引理，将谱伪随机性（通过 λ 表示）与 (n,d,λ)-图中的边分布联系起来。
• 采用基于分数 K_t-因子的概率构造方法：为三角形分配权重，使得每个顶点在期望下恰好被覆盖一次。
• 运用切尔诺夫不等式，证明从分数因子导出的随机子超图中顶点与边度数的集中性。
• 应用超图匹配定理（定理 2.1），在随机超图中提取出一个大匹配，对应于顶点不相交的 K_t 团。
• 结合两种方法：一种用于大 d（基于嵌入 K_{t−1} 子图），一种用于小 d（基于图论型论证），前者更具鲁棒性。
• 通过集中不等式与超图匹配条件导出的参数，证明所得匹配覆盖了所有但 O(n^{1−1/(8t⁴)}) 个顶点。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 t ≥ 3 且满足谱条件 λ ≤ c·d^{t−1}/n^{t−2} 时，能否保证稀疏伪随机图中存在近乎完美的 K_t-因子？
• RQ2 谱条件 λ ≤ cd²/n 能在多大程度上逼近伪随机图中三角形-因子的猜想最优阈值？
• RQ3 能否将分数 K_t-因子分解为大量权重不相交的副本，以实现 K_t 团的随机嵌入？
• RQ4 在保证近乎覆盖的团因子时，稀疏性（d）与伪随机性（λ）之间能达到的最佳权衡是什么？
• RQ5 分数因子与随机超图采样的方法在 t ≥ 3 的一般情形下，能否超越三角形情形进行推广？

主要发现

• 对任意 t ≥ 3，存在常数 c(t) > 0，使得若 λ ≤ (1/(50t·4^{t−2}))·d^{t−1}/n^{t−2}，则图中存在顶点不相交的 K_t 团，覆盖所有但至多 n^{1−1/(8t⁴)} 个顶点。
• λ 的界在渐近意义下几乎最优，因其几乎与猜想的阈值 λ ≤ cd²/n（三角形-因子）相匹配。
• 该方法得到的近乎完美 K_t-因子的误差项为 n^{1−1/(8t⁴)}，随着 t 增大而趋于零，表明对更大团的覆盖效果更优。
• 该结果支持 Krivelevich–Sudakov–Szabó 关于伪随机图中三角形-因子的猜想，首次为一般 K_t-因子提供了非平凡结果。
• 通过分数因子与切尔诺夫集中性保证的随机构造，确保了在随机超图中匹配的高概率存在性。
• 该结果可推广至双打乱图（bijumbled graphs），表明其在正则图之外也具有鲁棒性，并与 Nenadov 等人的近期进展一致。