[论文解读] Nearly finite Chacon Transformation

Élise Janvresse, Emmanuel Roy+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2017

Mathematics and Applications参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文引入了近乎有限的Chaotic变换，这是一种无限测度保持的秩一系统，旨在消除早期无限Chaotic构造中困扰的“怪异测度”。通过使用快速增长的整数序列精确控制切割与堆叠过程，作者证明了在典型集X∞上，T×d-不变的Radon测度中唯一存在的遍历测度是乘积测度µ⊗d以及来自T的幂的图测度——在无限测度情形下实现了最小自结合性质。该结果使得能够构造具有Poisson自结合性质的Poisson悬浮系统，并确立了有理遍历性及可测的大数定律。

ABSTRACT

We construct an infinite-measure preserving version of Chacon transformation, and prove that it has a property similar to Minimal Self-Joinings in finite measure: its Cartesian powers have as few invariant Radon measures as possible.

研究动机与目标

• 构造一个无限测度保持变换，以避免先前无限Chaotic系统中出现的“怪异测度”。
• 证明在X∞上，T×d-不变的遍历Radon测度仅包括乘积测度µ⊗d和来自T的幂的图测度。
• 在无限测度情形下，建立一个类似于有限测度系统中MSJ（最小自结合）性质的最小自结合性质系统。
• 通过识别满足Foia¸s–Str˘atil˘a型准则的系统，支持构造具有Poisson自结合性质的Poisson悬浮系统。
• 证明该变换具有有理遍历性，并存在可测的大数定律。

提出的方法

• 通过在R+上使用快速增长的序列(nℓ)对修改后的切割与堆叠方法进行构造，以确保无限不变测度，从而构造近乎有限的Chaotic变换。
• 在可数字母表上使用符号模型来表示X空间上的变换T，从而能够分析典型点和零余测度集X∞。
• 将n-交叉定义为Z中的有限区间，其中典型点x ∈ X∞的轨道与第n个Rokhlin塔相交，并分析其组合结构。
• 基于轨道上的经验测度，提出一种适用于Hopf比值遍历定理的Radon测度收敛准则。
• 应用扭曲变换技术：若σ在该变换下不变，则其可分解为测度的乘积，使得归纳假设适用。
• 使用Z的抽象子集层级结构和组合引理（引理4.2）分析n-交叉的结构，并推导出σ为图测度或可分解的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个无限测度保持变换，使其笛卡尔幂仅具有最小可能的遍历不变Radon测度集合？
• RQ2 “怪异测度”的缺失——即不来自T的幂的奇异边缘测度——是否刻画了最小自结合性质在无限测度情形下的自然类比？
• RQ3 典型点轨道中n-交叉的哪些结构条件可确保不变Radon测度为图测度或可分解？
• RQ4 此类系统的Poisson悬浮如何产生具有Poisson自结合性质的系统，以满足PaP构造的要求？
• RQ5 近乎有限的Chaotic变换是否满足有理遍历性，并允许存在可测的大数定律？

主要发现

• 近乎有限的Chaotic变换保持一个无限Radon测度µ，并在一个零余测度不变集X∞上，其唯一的遍历T×d-不变Radon测度为µ⊗d和来自T的幂的图测度，如定理3.10所述。
• 该变换消除了原始无限Chaotic系统中出现的“怪异测度”，在无限测度情形下实现了最小自结合性质。
• 推论3.11识别出所有具有绝对连续边缘测度的T×d-不变Radon测度，其为定理3.10中形式的遍历分量的可数和。
• 该变换具有有理遍历性，如命题8.3所证明，这意味着存在可测的大数定律。
• 证明依赖于对典型点轨道中n-交叉的分析，并利用组合结构推导出在扭曲变换下的不变性。
• 该构造满足Poisson悬浮系统成为PaP（具有Poisson自结合性质的Poisson悬浮）所必需的Foia¸s–Str˘atil˘a型准则，从而支持此类系统的构造。